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[[数学]]中，'''算子理论'''（operator theory）是对[[函数空间]]上[[线性算子]]的研究，始于[[微分算子]]和[[积分算子]]。算子可按特征抽象地表示，例如[[有界算子|有界线性算子]]和闭算子，也可以考虑非线性算子。研究在很大程度上依赖于函数空间的[[拓扑]]，是[[泛函分析]]的分支。

若算子集合构成[[域上的代数]]，则就是[[算子代数]]。对算子代数的描述是算子理论的一部分。

==单算子理论==
单算子理论涉及算子的性质与分类，如据[[谱 (泛函分析)|谱]]分类[[正规算子]]。

===算子的谱===
{{Main article|谱定理}}
'''谱定理'''是关于[[线性算子]]或[[矩阵]]的一系列结果中的任意一个。<ref>Sunder, V.S. ''Functional Analysis: Spectral Theory (1997) Birkhäuser Verlag</ref>广义地说，谱定理提供了算子或矩阵[[可对角化矩阵|可对角化]]的条件（即在某个基下可表为[[对角矩阵]]），这概念对有限维空间上的算子来说比较简单，但对无限维则要进行修改。总的来说，谱定理确定了一类可用[[乘法算子]]建模的[[线性算子]]，后者非常简单。更抽象地说，谱定理是关于交换[[C*-代数]]的一个声明。

谱定理适用的算子包括[[自伴算子]]，更一般地说是[[希尔伯特空间]]上的[[正规算子]]。
谱定理还提供了算子作用的底向量空间的[[规范形|规范]]分解，称作'''谱分解、特征值分解'''或'''[[特征分解]]'''。
====正规算子====
{{main article|正规算子}}
复[[希尔伯特空间]]''H''上的'''正规算子'''是[[连续函数 (拓扑学)|连续]]线性算子<math>N:\ H\to H</math>，可与其[[埃尔米特伴随]]''N*''[[交换子|交换]]：<math>NN^*=N^*N</math>。<ref>{{citation
 | last1 = Hoffman | first1 = Kenneth
 | last2 = Kunze | first2 = Ray | author2-link = Ray Kunze
 | edition = 2nd
 | location = Englewood Cliffs, N.J.
 | mr = 0276251
 | page = 312
 | publisher = Prentice-Hall, Inc.
 | title = Linear algebra
 | year = 1971}}</ref>

正规算子之所以重要，是因为[[谱定理]]对其成立。如今，人们对正规算子类已有了很好了解。正规算子的例子有
* [[幺正算符]]：<math>N^*=N^{-1}</math>
* [[自伴算子#量子力學|厄米算子]]（即自伴算子<math>N^*=N</math>和反自伴算子<math>N^*=-N</math>）
* [[正算子]]：<math>N=MM^*</math>
* 如将希尔伯特空间视作<math>\mathbb{C}^n</math>，则[[正规矩阵]]可视作正规算子。

谱定理可推广到更一般的矩阵。令''A''为有限维内积空间上的算子，则若<math>A^*A=AA^*</math>，则称其[[正规矩阵|正规]]。可以证明，当且仅当''A''可酉对角化时，''A''正规：由[[舒尔分解]]，有<math>A=UTU^*</math>，其中''U''是酉矩阵，''T''是上三角阵。
由于''A''正规，<math>TT^*=T^*T</math>，因此''T''一定是对角阵，因为正规上三角阵是对角阵。反之亦然。

也就是说，当且仅当存在[[酉矩阵]]''U''，使
<math display="block">A = U D U^* </math>
其中''D''是[[对角矩阵]]时，''A''正规。那么，''D''的对角线项就是''A''的[[特征值]]；''U''的列向量就是''A''的[[特征向量]]，且都正交。不同于厄米矩阵，''D''的项不必是实数。

===极分解===
{{Main article|极分解}}
任意有界线性算子''A''在复[[希尔伯特空间]]之间的'''极分解'''都可典范分解为部分等距与非负算子之积。<ref>{{citation|title=A Course in Operator Theory | series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|first=John B. |last=Conway|publisher=American Mathematical Society|year= 2000 | isbn=0821820656}}</ref>

矩阵极分解概括如下：若''A''是有界线性算子，则有唯一的分解<math>A=UP</math>，其中''U''是部分等距（partial isometry），''P''是非负自伴算子，''U''的初始空间是''P''的范围闭包。

算子''U'' 由于以下问题要弱化为部分等距，而非酉矩阵。若''A''是<math>I^2(\mathbb{N})</math>上的单侧[[移位算子]]，则<math>|A|=(A^*A)^{1/2}=I</math>，因此若<math>A=U|A|</math>，则''U''一定是''A''而''A''不是酉的。

极分解的存在来自[[道格拉斯引理]]：
{{math theorem | name = 引理 | math_statement = 若''A''、''B''是希尔伯特空间''H''上的有界算子，且满足<math>A^*A\le B^*B</math>，则存在一个收缩（contraction）''C''，使<math>A=CB</math>。此外，若<math>{\rm Ker}(B^*)\subset{\rm Ker}(C)</math>，则''C''是唯一的。}}

算子''C''的定义为{{math|1=''C''(''Bh'') = ''Ah''}}，通过连续性扩张到闭包<math>{\rm Ran}(B)</math>，并在其正交补上为零。算子''C''是良定义的，因为<math>A^*A\le B^*B</math>意味着<math>{\rm Ker}(B)\subset{\rm Ker}(A)</math>，因此可得出此引理。

特别地，若<math>A^*A=B^*B</math>，则''C''是部分等距；若还有<math>{\rm Ker}(B^*)\subset{\rm Ker}(C)</math>，则是唯一的。一般来说，对任意有界算子''A''，
<math display="block">A^*A = (A^*A)^{\frac{1}{2}} (A^*A)^{\frac{1}{2}},</math>
其中<math>(A^*A)^{1/2}</math>是通常[[函数演算]]给出的唯一正<math>\sqrt{A^*A}</math>。所以，根据引理有
<math display="block">A = U (A^*A)^{\frac{1}{2}}</math>
对某部分等距''U''，若<math>{\rm Ker}(A)\subset{\rm Ker}(U)</math>则是唯一的。
（注意<math>{\rm Ker}(A)={\rm Ker}(A^*A)={\rm Ker}(B)={\rm Ker}(B^*B),\ B=B^*=(A^*A)^{1/2}.</math>）取<math>P=(A^*A)^{1/2}</math>，可得极分解<math>A=UP</math>。注意，可用类似论证证明<math>A=P'U'</math>，其中''P' ''是正的，''U' ''是部分等距。

'H''有限维时，''U''可以扩展为酉算子；但一般情形下并非如此（见上例）。另外，极分解可用算子的[[奇异值分解]]来表示。

根据[[连续函数演算]]的性质，<math>|A|</math>在由''A''生成的[[C*-代数]]中。对部分等距有类似但较弱的陈述：极部分''U''在由''A''生成的[[冯诺依曼代数]]中。若''A''可逆，则''U''也在''A''生成的[[C*-代数]]中。

===与复分析的联系===
算子理论研究的很多算子都是[[全纯函数]]希尔伯特空间上的算子，因此其与泛函理论中的问题密切相关。例如，[[伯林定理]]用内函数描述了单侧移位的[[不变子空间]]，其中内函数是单位圆盘上的有界全纯函数，幺模边界值在圆上几乎无处不在。伯林将单侧移位解释为自变量在[[哈代空间]]的乘法运算。<ref>{{citation|first=N.|last=Nikolski|title=A treatise on the shift operator|publisher=Springer-Verlag|year=1986|isbn=0-387-90176-0}}. A sophisticated treatment of the connections between Operator theory and Function theory in the [[Hardy space]].</ref>对乘法算子及更一般的[[特普利茨算子]]（即乘法，然后投影到哈代空间）的成功激发了对其它空间（如[[博格曼空间]]）类似问题的研究。

==算子代数==
[[算子代数]]使[[C*-代数]]等代数成为人们关注的焦点。

===C*-代数===
{{Main article|C*-代数}}
C*-代数''A''是[[复数 (数学)|复数]]域上的[[巴拿赫代数]]，以及[[映射]]<math>{}^*:\ A\to A</math>。''x*''表示''A''的元素''x''的像。映射*具有以下性质：<ref>{{citation|first=W.|last=Arveson|title=An Invitation to C*-Algebra|publisher=Springer-Verlag|year=1976|isbn=0-387-90176-0}}. An excellent introduction to the subject, accessible for those with a knowledge of basic [[functional analysis]].</ref>

* 是对合，<math>\forall x\in A:</math><math display="block"> x^{**} = (x^*)^* =  x </math>
* <math>\forall x,\ y\in A:</math><math display="block"> (x + y)^* = x^* + y^* </math> <math display="block"> (x y)^* = y^* x^*</math>
* <math>\forall\lambda\in\mathbb{C},\ \forall x\in A:</math><math display="block"> (\lambda x)^* = \overline{\lambda} x^* .</math>
* <math>\forall x\in A:</math><math display="block"> \|x^* x \| = \left\|x\right\| \left\|x^*\right\|.</math>

'''备注''' 前三条等式表示''A''是[[*-代数]]。最后一条称作'''C*等式'''，等价于
<math display="block">\|xx^*\| = \|x\|^2,</math>

C*等式是非常强的要求。例如，结合[[谱半径]]公式，可知C*范数是由代数结构唯一决定的：
<math display="block"> \|x\|^2 = \|x^* x\| = \sup\{|\lambda| : x^* x - \lambda \,1 \text{ is not invertible} \}.</math>

==另见==
* [[不变子空间]]
* [[函数演算]]
* [[谱理论]]
** {{Tsl|en|Resolvent formalism}}
* [[紧算子]]
** [[积分方程]]的[[弗雷德霍姆理论]]

* [[自伴算子]]
* [[无界算子]]
** [[微分算子]]
* [[本影演算]]
* [[压缩映射]]

==参考文献==
{{reflist}}

== 延伸阅读 ==
* [[John B. Conway|Conway, J. B.]]: ''A Course in Functional Analysis'', 2nd edition, Springer-Verlag, 1994, {{isbn|0-387-97245-5}}
* {{cite book | isbn = 978-0582237438 | title = Introduction to Operator Theory | url = https://archive.org/details/introductiontoop0000taka | last1 = Yoshino | first1 = Takashi | year = 1993 | publisher = Chapman and Hall/CRC  }}

==外部链接==
* [http://www.mathphysics.com/opthy/OpHistory.html History of Operator Theory] {{Wayback|url=http://www.mathphysics.com/opthy/OpHistory.html |date=20221127150120 }}

{{泛函分析}}
{{Authority control}}

[[Category:算子理论| ]]