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[[泛函分析]]中，在[[巴拿赫空间]]''X''上有几种标准[[拓扑学|拓扑]]被赋予[[有界线性算子]]代数<math>B(H)</math>。

== 概述 ==
令<math>(T_n)_{n \in \mathbb N}</math>为巴拿赫空间''X''上的线性算子序列。考虑这样的陈述：<math>(T_n)_{n \in \N}</math>收敛到''X''上某算子''T''，这可能有歧义：
* 若<math>\|T_n - T\| \to 0</math>，即<math>T_n - T</math>的[[算子范数]]（<math>\| T_n x - T x \|_X</math>的上确界，其中''x''在''X''中的[[单位球面]]上）收敛到0，就称<math>T_n \to T</math>在'''一致算子拓扑'''中。
* <math>\forall x\in X,\ T_n x \to Tx</math>，就称<math>T_n \to T</math>在'''[[强算子拓扑]]'''中。
* 假设<math>\forall x\in X,\ T_n x \to Tx</math>在''X''的[[弱拓扑]]中。这是说，对''X''上所有连续线性泛函<math>F(T_n x) \to F(T x)</math>，称<math>T_n \to T</math>在'''[[弱算子拓扑]]'''中。

== B(''H'')上的拓扑列表 ==
[[Image:Optop.svg|right|thumb|有界算子空间<math>B(H)</math>上的拓扑关系图]]

除上述拓扑外，<math>B(X)</math>上还可定义许多拓扑，大多最初只是<math>X=H</math>为希尔伯特空间时才被定义，尽管很多时候都有适当的推广。
下列拓扑都是局部凸的，即由一族[[半范数]]定义。

在数学分析中，若拓扑有很多开集，则称强拓扑；若有较少的开集，称为弱拓扑。因此，相应的收敛模式分别是强收敛和弱收敛（拓扑学中可能有相反的含义，或改称细拓扑与粗拓扑）。
右图是这些关系的简单总结，箭头从强指向弱。

若''H''是希尔伯特空间，则[[希尔伯特空间]]<math>B(X)</math>有（唯一）[[预对偶]]<math>B(H)_*</math>，由迹类算子组成，其对偶是<math>B(X)</math>。预对偶中，''w''为正的半范数<math>p_w(x)</math>定义为<math>B(w,\ x^*x)^{1/2}</math>。

若''B''是向量空间''A''上线性映射的向量空间，则<math>\sigma(A,\ B)</math>被定义为''A''上最弱的拓扑，使''B''中所有元素都连续。

* '''[[算子范数|范数拓扑]]'''或'''一致拓扑'''或'''一致算子拓扑'''定义为<math>B(H)</math>上通常的范数||''x''||，比下面所有拓扑都强。
* '''[[弱拓扑|弱（巴拿赫空间）拓扑]]'''是<math>\sigma(B(H),\ B(H)^*)</math>，即使对偶<math>B(H)^*</math>的所有元素都连续的最弱拓扑，是巴拿赫空间<math>B(H)</math>上的弱拓扑。它比超弱、弱算子拓扑要强（注意：弱巴拿赫空间拓扑、弱算子拓扑和超弱拓扑有时被统称为弱拓扑，但它们是不同的）。
* '''[[麦基拓扑]]'''或'''Arens-麦基拓扑'''是<math>B(H)</math>上对偶为<math>B(H)_*</math>的最强的局部凸拓扑，也是<math>B\sigma(B(H)_*)</math>上的一致收敛拓扑，<math>B(H)_*</math>的<math>B(H)</math>-紧凸子集。比下面所有拓扑都强。
* '''σ-强<sup>*</sup>拓扑'''或'''超强<sup>*</sup>拓扑'''是比超强拓扑更强的最弱的拓扑，其伴随映射连续，由<math>B(H)_*</math>的正元素''w''的半范数族<math>p_w(x),\ p_w(x^*)</math>定义。比下面所有拓扑都强。
* '''σ强拓扑'''或'''[[超强拓扑]]'''或'''最强拓扑'''或'''最强算子拓扑'''由半范数族<math>p_w(x)</math>定义，''w''是<math>B(H)_*</math>的正元素。除了强<sup>*</sup>拓扑，它比下面所有拓扑都强。注意：虽然叫“最强拓扑”，但弱于范数拓扑。
* '''σ弱拓扑'''或'''超弱拓扑'''或'''弱<sup>*</sup>算子拓扑'''或'''弱*拓扑'''或'''弱拓扑'''或'''<math>\sigma(B(H),\ B(H)_*)</math>拓扑'''由半范数|(''w'', ''x'')|定义，其中''w''是<math>B(H)_*</math>的元素。比弱算子拓扑强（注意：弱巴拿赫空间拓扑、弱算子拓扑和超弱拓扑有时被统称为弱拓扑，但它们是不同的）。
* '''强<sup>*</sup> 算子拓扑'''或'''强<sup>*</sup>拓扑'''由半范数||''x''(''h'')||、||''x''<sup>*</sup>(''h'')||定义，其中''h''属于''H''。比强、弱算子拓扑都强。
* '''[[强算子拓扑]]'''或'''强拓扑'''由半范数||''x''(''h'')||定义，其中''h''属于''H''。比弱算子拓扑强。
* '''[[弱算子拓扑]]'''或'''弱拓扑'''由半范数|(''x''(''h''<sub>1</sub>), ''h''<sub>2</sub>)|定义，其中所有''h''都属于''H''（注意：弱巴拿赫空间拓扑、弱算子拓扑和超弱拓扑有时被统称为弱拓扑，但它们是不同的）。

== 拓扑之间的关系 ==
弱、强、强<sup>*</sup>（算子）拓扑的<math>B(H)</math>上的连续线性泛函是相同的，都是线性泛函<math>\forall h_1,\ h_2\in H,\ (xh_1,\ h_2)</math>的有限线性组合。超弱、超强、超强<sup>*</sup>、Arens-麦基拓扑的<math>B(H)</math>上的连续线性泛函是相同的，都是预对偶<math>B(H)_*</math>的元素。

由定义，范数拓扑中的连续线性泛函与弱巴拿赫空间拓扑中的相同。这对偶是个相当大的空间，其中有很多病态元素。

在<math>B(H)</math>的规范有界集上，弱（算子）、超强拓扑是重合的。比如，这可以从[[巴拿赫-阿劳格鲁定理]]看出来。出于基本相同的原因，超强拓扑与<math>B(H)</math>的任何（规范）有界子集上的强拓扑相同。
Arens-麦基、超强<sup>*</sup>、强<sup>*</sup>拓扑也如此。

在局部凸空间中，凸集的封闭性可由连续线性泛函来表征。因此，对<math>B(H)</math>的凸子集 ''K''，在超强<sup>*</sup>、超强、超弱拓扑中封闭的条件都等价，且也等价于：在强<sup>*</sup>、强、弱（算子）拓扑中，<math>\forall r>0</math>，''K''与半径为''r''的闭球有闭交集。
范数拓扑是可度量化的，其他的则不行。实际上，它们都不是[[第一可数空间]]。

''H''可分时，限制在单位球（或任何范数有界子集）上的所有拓扑都可度量化。

== 使用拓扑 ==
最常用的拓扑是范数拓扑、强、弱算子拓扑。弱算子拓扑对关于紧性证明非常好用，因为据[[巴拿赫-阿劳格鲁定理]]，单位球是紧的。
范数拓扑是基本拓扑，因为它使<math>B(H)</math>称为巴拿赫空间，但它对很多目的来说太强了。例如<math>B(H)</math>在这拓扑中是不可分的。
强算子拓扑可能是最常用的拓扑。

超弱、超强拓扑比弱、强算子拓扑的性质更好，但定义也更复杂，所以除非真的需要这更好的性质，否则通常不会使用。例如，弱、强算子拓扑中<math>B(H)</math>的对偶空间太小，没有什么解析内容物。

强算子、超强拓扑中，伴随映射不连续，而强<sup>*</sup>、超强<sup>*</sup>拓扑经过修改后则可使伴随映射连续。它们并不常用。

Arens–麦基拓扑和弱巴拿赫空间拓扑相对少用。

总之，<math>B(H)</math>上的3个基本拓扑是范数拓扑、超强拓扑和超弱拓扑。强、弱算子拓扑分别作为后两者的便捷近似，使用广泛。其他拓扑则较为少见。

== 另见 ==
* [[有界算子]]
* [[连续线性算子]]
* [[希尔伯特空间]]
* [[范数]]
* [[线性映射空间拓扑]]
* [[浑拓扑]]

== 参考文献 ==
* ''Functional analysis'', by Reed and Simon, {{ISBN|0-12-585050-6}}
* ''Theory of Operator Algebras I'', by M. Takesaki (especially chapter II.2) {{ISBN|3-540-42248-X}}

{{Banach spaces}}
{{Hilbert space}}
{{泛函分析}}

[[Category:泛函分析]]
[[Category:拓扑向量空间]]
[[Category:函数空间的拓扑|*]]