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{{NoteTA
|G1 = Math
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{{otheruses|subject=一个[[数学]]知识|other=古代[[中国]]一种[[计算工具]]|算筹}}
{{otheruses|算子 (編程)}}
在数学领域裡，'''算子'''（operator）有别于物理的算符，是一種[[映射]]，一个[[向量空间]]的元素通過此[[映射]]（或[[模]]）在另一個向量空間（也有可能是相同的向量空間）中產生另一个元素。

算子对于[[线性代数]]和[[泛函分析]]都至关重要，它在纯数学和应用数学的许多其他领域中都有应用。 例如，在[[经典力学]]中，[[导数]]的使用无处不在，而在[[量子力学]]中，[[可观察量]]由埃尔米特算子表示。 各种算子可以具有包括[[线性映射|线性]]、[[有界算子|连续性]]和[[有界算子|有界性]]等的重要性质。

== 定义 ==
设''U''、''V''是两个[[向量空间]]。 从''U''到''V''的任意映射被称为'''算子'''。 令''V''是域''K''上的向量空间。我们可以定义包含所有从''U''到''V''算子的集合上的向量空间结构（''A''和''B''是算子）：
: <math>(A + B)\mathbf{x} := A\mathbf{x} + B\mathbf{x}</math>，
: <math>(\alpha A)\mathbf{x} := \alpha A \mathbf{x}</math>
对所有''A, B: U→V，'''''x'''<math>\in</math>''U''和''α<math>\in</math>''K''。

从一个向量空间到自身的算子构成一个辛[[結合代數|结合代数]]：
: <math>(AB)\mathbf{x} := A(B\mathbf{x})</math>，
单位元是[[恆等函數|恒等映射]]（通常记为''E''、''I或''id）。

=== 有界算子和算子范数 ===
令''U''和''V''是同一[[有序域]]（例如<math>\mathbf{R}</math>）上的两个[[范数|赋范]]向量空间。从''U''到''V''的线性算子被称为'''有界'''，如果存在''C>0''满足
: <math>||A\mathbf{x}||_V \leq C||\mathbf{x}||_U</math>
对所有'''x'''<math>\in</math>''U''。

有界算子构成一个向量空间。在这个向量空间上，我们可以引入一个与''U''和''V''的范数相容的范数：
: <math>||A|| = \inf\{C: ||A\mathbf{x}||_V \leq C||\mathbf{x}||_U\}</math>。
对于从''U''到自身的算子有
: <math>||AB|| \leq ||A||\cdot||B||</math>。
任何具有这一性质的辛[[赋范代数]]被称为[[Banach代数]]。 可以将[[谱理论]]推广到这样的代数上。 [[C*-代数]]是具有一些附加结构的Banach代数，在[[量子力学]]中起重要作用。

== 特殊情形 ==

=== 泛函 ===
[[泛函]]是将向量空间映射到其底[[域 (數學)|域]]的算子。 [[广义函数]]理论和[[变分法]]是泛函的重要应用。 两者对[[理论物理]]都非常重要。

=== 线性算子 ===
[[线性算子]]是最常见的算子。设''U''和''V''是域''K''上的向量空间。算子''A''：''U''→''V''被称为线性，如果
: <math>A(\alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{y}) = \alpha A \mathbf{x} + \beta A \mathbf{y}</math>
对所有'''x'''、'''y'''<math>\in</math>''U''和''α、β''<math>\in</math>''K''。

线性算子的重要性在于它是向量空间之间的[[态射]]。

在有限维情形下，线性算子可以以下面的方式由[[矩阵]]表示。 设<math>K</math>是一个域，<math>U</math>和<math>V</math>是<math>K</math>上有限维向量空间。选择一组基<math>\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_n</math><math>U</math>上和一组基<math>\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_m</math>在<math>V</math>上。令<math>\mathbf{x} = x^i \mathbf{u}_i</math>为<math>U</math>上的任意向量（假设有[[爱因斯坦求和约定]]），且有<math>A: U \to V</math>是线性算子。则有
: <math>A\mathbf{x} = x^i A\mathbf{u}_i = x^i (A\mathbf{u}_i)^j \mathbf{v}_j </math>。
所以有<math>a_i^j := (A\mathbf{u}_i)^j \in K</math>是算子<math>A</math>在固定基底下的矩阵表示。<math>a_i^j</math>不依赖于<math>x</math>的选取，且有<math>A\mathbf{x} = \mathbf{y}</math>当且仅当<math>a_i^j x^i = y^j</math>。因此在固定基底下的n×m矩阵一一映射到从<math>U</math>到<math>V</math>的线性算子。

与有限维向量空间之间的算子直接相关的重要概念包括[[秩 (线性代数)|秩]]、[[行列式]]、[[反函數|逆算子]]和[[特征空间]]。

线性算子在无限维情形也起着重要作用。秩和行列式的概念不能扩展到无限维矩阵。 这就是为什么在无限维情况下研究线性算子（和一般的算子）时采用非常不同的技术的原因。 在无限维情况下的对线性算子的研究被称为[[泛函分析]]。

实数[[序列]]（或更一般地任意向量空间中的向量序列）的空间本身构成无限维向量空间。 最重要的情形是实数或复数序列，这些空间与线性子空间一起被称为[[Sequence space|序列空间]]。 这些空间上的算子被称为[[序列变换]]。

[[巴拿赫空间]]上的有界线性算子在标准算子范数意义下构成[[Banach代数]]。 Banach代数理论将特征空间理论推广到更一般的[[谱 (泛函分析)|谱]]的概念。

== 例子 ==

=== 几何 ===
在[[几何]]中，有时研究[[向量空间]]上的附加结构。 在这些研究中，将这些向量空间一一映射到自身的算子非常有用，它们通过构造自然地构成[[群]]。

例如保持向量空间结构的双射算子正是[[逆元素|可逆]][[线性映射|线性算子]]。 它们构成了[[一般线性群]]。 它们算子加法下不是向量空间，例如， ''id''和-''id''都是可逆的（双射），但它们的和为0，不可逆。

在这样的空间上保持欧几里得度量的算子构成[[Isometry group|等度群]]，保持原型不变的子群被称为[[正交群]]。正交群中的保角算子构成特殊正交群。

=== 概率论 ===
[[概率论]]中也涉及到算子，如[[期望值|期望]]、[[方差]]、[[协方差]]、[[階乘|阶乘]]等。

=== 微积分 ===
从泛函分析的角度来说，[[微积分]]是研究两个线性算子：[[微分算子]]<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}</math>和不定积分算子<math>\int_0^t</math>。

==== 傅里叶级数和傅里叶变换 ====
[[傅里叶变换]]在[[应用数学]]特别是[[物理学]]和[[信号处理]]中都是有用的工具。 它是另一种积分算子; 它的意义主要在于它以一种有效的[[逆元素|可逆]]的方式将一个时域上的函数转换为频域上的函数。 因为是一个可逆变换算子，所以没有信息损失。 在[[周期函数]]这一简单情况下，该结果是基于定理任何连续周期函数可以表示为一系列[[正弦曲線|正弦波]]和余弦波的和：
: <math>f(t) = {a_0 \over 2} + \sum_{n=1}^{\infty}{ a_n \cos ( \omega n t ) + b_n \sin ( \omega n t ) } </math>，

''(a<sub>0</sub>, a<sub>1</sub>, b<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, b<sub>2</sub>, ...)''实际上是无限维向量空间ℓ<sup>2</sup>的元素，因此[[傅里叶级数]]是线性算子。

当处理'''R''' → '''C'''的一般函数时，变换采用积分形式：

: <math>f(t) = {1 \over \sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{+ \infty}{g( \omega )e^{ i \omega t } \,d\omega }</math>。

==== 拉普拉斯变换 ====
[[拉普拉斯变换]]是另一种积分算子，用于简化求解[[微分方程]]的过程。

对于''f'' = ''f''(''s'')，拉普拉斯变换定义如下：
: <math>F(s) = \mathcal{L}\{f\}(s) =\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt</math>。

=== 标量和向量场上的基本算子 ===
三个算子是[[向量分析|向量微积分]]的关键：
* Grad（[[梯度]]），（算子符号[[Nabla算子|<math>\nabla</math>]]）在标量场中的每个点对应一个向量，指向该场最大变化率的方向，并且其范数是该最大变化率的绝对值。
* Div（[[散度]]），（算子符号[[Nabla算子|<math>\nabla \cdot</math>]]）是一个向量算子，用于描述向量场从给定点向外的发散度或朝向给定点的收敛度。
* Curl（[[旋度]]），（算子符号[[Nabla算子|<math>\nabla \times</math>]]）是一个向量算子，用于描述在给定点的向量场旋转程度。
作为从向量微积分算子到物理、工程和张量空间的延伸，梯度、散度和旋度算子也经常与[[Tensor calculus|张量微积分]]相关联。 <ref name="Vector and Tensor Operators">{{cite book|url=http://www.amazon.com/Div-Grad-Curl-All-That/dp/0393925161/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1388768941&sr=1-1&keywords=div+grad+curl|title=Div Grad Cural and All that|publisher=W W Norton|year=2005|isbn=0-393-92516-1|location=New York|author=h.m. schey|access-date=2016-12-13|archive-date=2022-07-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20220724085932/https://www.amazon.com/Div-Grad-Curl-All-That/dp/0393925161/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1388768941&sr=1-1&keywords=div+grad+curl|dead-url=no}}</ref>

== 另请参阅 ==
* [[运算]]
* [[函数]]
* [[数学符号表]]
* [[向量空间]]
* [[对偶空间]]
* [[算子代数]]
* {{link-en|Banach代数|Banach algebra}}
* {{link-en|算子列表|List of operators}}
* [[算符]]
* [[算子 (編程)]]

== 参考文献 ==
{{reflist}}

[[Category:代数]]
[[Category:泛函分析]]
[[Category:數學表示法]]