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'''策梅洛集合论'''（{{lang-de|Zermelo-Mengenlehre}}），设立自[[恩斯特·策梅洛]]在1908年的重要论文，它是现代[[集合论]]的祖先。它与它的后代有特定的差别，经常被误解并经常被误引用。本文架设最初的公理，带有最初的文本（从德文译成了英文）和编号。

== 策梅洛集合论的公理 ==

*'''公理I'''。[[外延公理|外延性公理]]（Axiom der Bestimmtheit）：“如果一个集合''M''的所有元素也是''N''的元素，且反之亦然...则''M'' = ''N''。简要的说，所有集合由它所包含的元素确定”。
*'''公理II'''。基本集合公理（Axiom der Elementarmengen）：“存在这样的一个集合，即空集<math>\varnothing</math>，它根本不包含元素。如果''a''是域的任何元素，存在一个集合{''a''}包含''a''并只包含''a''作为元素。如果''a''和''b''是域的任何两个元素，总是存在一个集合{''a'', ''b''}包含''a''和''b''作为元素，而不包含不同于它们二者的对象''x''”。参见[[空集公理]]、[[配对公理|对集公理]]。
*'''公理III'''。[[分类公理|分离公理]]（Axiom der Aussonderung）：“只要[[命题函数]]–(''x'')对于一个集合''M''的所有元素是明确的，则存在''M''一个子集''M' ''，它精确地包含''M''中使–(''x'')为真的那些元素作为元素”。
*'''公理IV'''。[[幂集公理]]（Axiom der Potenzmenge）：“对于所有集合''T''都对应着一个集合''T' ''，''T''的[[幂集]]，精确的包含''T''的所有子集作为元素”。
*'''公理V'''。[[并集公理]]（Axiom der Vereinigung）：“对于所有集合''T''都对应着一个集合''∪T''，''T''的并集，精确的包含''T''的元素们的所有元素作为元素”。
*'''公理VI'''。[[选择公理]]（Axiom der Auswahl）：“如果''T''是其元素都是不同于<math>\varnothing</math>并且相互无交的集合们的集合，它的并集''∪T''包含至少一个子集''S''<sub>1</sub>有一个且只有一个元素公共于''T''的每个元素”。
*'''公理VII'''。[[无穷公理]]（Axiom des Unendlichen）：“在域中存在至少一个集合''Z''包含空集作为一个元素，并且对于它的每个元素''a''都对应着形如{''a''}的进一步元素而构成的，换句话说，对于它的每个元素''a''它也包含对应的集合{''a''}作为元素”。

== 与标准集合论的联系 ==

公认的标准集合论是[[策梅洛-弗兰克尔集合论]]。其中没有“基本集合公理”的完全对应者。（后来证实单元素集合可以从所谓的“对集公理”推导出来。如果''a''存在，''a''和''a''存在，所以{''a'',''a''}存在。通过外延性{''a'',''a''} = {''a''}。）空集公理已经被无穷公理所假定，现在不被包括为它的一部分了。

这里的公理不包括[[正规公理]]和[[替代公理]]。它们是[[Thoralf Skolem]]在1922年基于同一年早些时候[[Adolf Fraenkel]]的工作而增加的。

在现代ZFC系统中，在分离公理中提及的“命题函数”被解释为“可用带有参数的一阶公式定义的任何性质”。“一阶公式”的概念在1904年策梅洛发表他的公理的时候是未知的，而他后来拒绝这种解释因为太受限制了。

在通常的ZFC集合论的[[冯·诺伊曼全集|累积层次]]''V''<sub>α</sub>（对于序数α）中，对于大于第一个无限序数ω的极限序数α的集合''V''<sub>α</sub>之一形成了策梅洛集合论的模型。所以策梅洛集合论的相容性是ZFC集合论的一个定理。策梅洛的公理不允许很多无限基数的存在；例如，在策梅洛集合论的模型''V''<sub>ω+ω</sub>中对于有限序数α只有无限基数<math>\aleph_\alpha \ </math>。

[[无穷公理]]现在通常被修改为断言第一个无限冯·诺伊曼[[序数]]<math>\omega \ </math>的存在性；有意思的是观察到最初的策梅洛公理不能证明这个集合的存在，而修改后的策梅洛公理也不能证明策梅洛的无穷公理。策梅洛的公理（最初的或修改后的）不能证明<math>V_{\omega} \ </math>作为一个集合的存在性，也不能证明带有无限标定（index）的累积层次的任何阶的存在性。

== 策梅洛论文的目标 ==

介绍声称了集合论学科的真正存在性，“它好像受到从它的原理推导出的特定矛盾或“自相矛盾”的威胁–这些原理必然支配我们的思维–而完全满意的解决似乎仍未找到。”策梅洛当然指的是[[罗素悖论]]。

他说希望展示[[康托尔]]和[[戴德金]]的最初理论如何被简约到很少的定义和一些原理或公理。他说他仍未能够证明这些公理是相容的。

== 分离公理 ==

策梅洛注解他的系统中的公理III负责消除悖论。它不同于康托尔最初的定义。

集合不能用任何任意的逻辑上可定义的概念来独立的定义。它们必须被“分离”为已经“给出”的集合的子集。他说这消除了矛盾性的想法如“所有集合的集合”或“所有序数的集合”。

== 康托尔定理 ==

策梅洛的论文因第一次提及[[康托尔定理]]而著名。它严格的凭借了集合论的概念，因此不完全同于最初的康托尔[[对角论证法]]。

==引用==
* Zermelo, Ernst. "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I". Mathematische Annalen, 65: 261-281, 1908. English translation, "Investigations in the foundations of set theory" in Heijenoort 1967, pages 199-215.

[[Category:集合论系统]]
{{集合论}}