查看“︁等角螺线”︁的源代码

{{noteTA
|1=zh-hans:伯努利; zh-hant:白努利;
}}
[[File:Logarithmic Spiral Pylab.svg|thumb|250px|right|等角螺线]]

'''等角螺线'''、'''对数螺线'''或'''生长螺线'''是在自然界常见的[[螺线]]，在[[极坐标系]]<math>(r,\theta)</math>中，这个曲线可以写为
:<math>r = ae^{b\theta}\,</math>
或
:<math>\theta = \frac{1}{b}\ \ln\left(\frac{r}{a}\right)\ ,</math>
因此叫做“[[对数]]”螺线。

==定理==
*等角螺线的臂的[[距离]]以[[几何级数]]递增。
*设<math>L</math>为穿过[[原点]]的任意[[直线]]，则<math>L</math>与等角螺线的相交的[[角]]永远相等（故其名），而此值为<math>\cot^{-1}b</math>。
*设<math>C</math>为以[[原点]]为[[圆心]]的任意[[圆]]，则<math>C</math>与等角螺线的相交的[[角]]永远相等，而此值为<math>\tan^{-1}b</math>，名为「倾斜度」
*等角螺线是[[自我相似]]的；这即是说，等角螺线经放大后可与原图完全相同。
*等角螺线的[[渐屈线]]和[[垂足曲线]]都是等角螺线。
*从原点到等角螺线的任意点上的[[长度]]有限，但由那点出发沿等角螺线走到原点却需绕原点转无限次。这是由[[托里拆利]]发现的。

==历史==
[[File:Basel - Grabstein Bernoulli.jpg|thumb|200px|雅各布·伯努利的墓碑，下方即為雕刻師誤刻的阿基米德螺線。]]
等角螺线是由[[笛卡儿]]在1638年发现的。[[雅各布·伯努利]]后来重新研究之。他发现了等角螺线的许多特性，如等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线。他十分惊叹和欣赏这[[曲线]]的特性，故要求死后将之刻在自己的墓碑上，并附词「纵使改变，依然故我」(eadem mutata resurgo)。但雕刻师误将[[阿基米德螺线]]（等速螺线）刻了上去。

==自然现象==
[[File:NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg|thumb|鹦鹉螺的贝壳像等角螺线]]
[[File:Messier51.jpg|thumb|旋涡星系的旋臂像等角螺线]]
[[File:Low pressure system over Iceland.jpg|thumb|低气压的外觀像等角螺线]]
*[[鹦鹉螺]]的[[贝壳]]像等角螺线
*[[菊]]的[[种子]]排列成等角螺线
*[[鹰]]以等角螺线的方式接近它们的猎物
*[[昆虫]]以等角螺线的方式接近光源
*[[蜘蛛网]]的构造与等角螺线相似
*[[旋涡星系]]的[[旋臂]]差不多是等角螺线。[[银河系]]的四大旋臂的倾斜度约为 12°。
*[[低氣壓]]（熱帶氣旋、溫帶氣旋等）的外觀像等角螺线

==构造等角螺线==
*在[[複平面]]上定义一个[[複數 (數學)|複數]]<math>z=a+bi</math>，其中<math>a,b\neq 0</math>，那么连结<math>z,z^2,z^3,\ldots</math>的曲线就是一条等角螺线。
:[[File:mc_LogarithmicSpiral_Complex.png|none|复平面上的等角螺线]]
*若<math>L</math>是复平面中的一条直线且不平行于实数或[[虚数]]轴，那么[[指数函数]]<math>e^z</math>会将这些直线映像到以 0 为中心的等角螺线。
*使用[[黄金矩形]]：
:[[File:Golden spiral in rectangles.svg|none|400px|黄金长方形中的等角螺线]]
*在平面上, 质点围绕原点逐渐离开, 相对于原点的角速度恒定, 且相对于原点的距离以等比例增长, 则其轨迹为等角螺线。这是因为<math>r = ae^{b\theta}, r' = ae^{b\theta'}</math>，则有<math>r'/r = e^{b(\theta' - \theta)}</math>。

==参见==
*[[双曲螺线]]
*[[圆内螺线]]
*[[柯奴螺线]]
*[[费马螺线]]
*[[连锁螺线]]
*[[阿基米德螺线]]

==引用==
{{reflist}}
* {{mathworld|urlname=LogarithmicSpiral|title=Logarithmic Spiral}}
* Jim Wilson, [http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Erbas/KURSATgeometrypro/related%20curves/related%20curves.html Equiangular Spiral (or Logarithmic Spiral) and Its Related Curves] {{Wayback|url=http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Erbas/KURSATgeometrypro/related%20curves/related%20curves.html |date=20210501125348 }}, University of Georgia (1999)
* Alexander Bogomolny, [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Mirabilis.shtml Spira Mirabilis - Wonderful Spiral] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Mirabilis.shtml |date=20070715043724 }}, at [[cut-the-knot]]

==外部链接==
*[http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Erbas/KURSATgeometrypro/golden%20spiral/logspiral-history.html Spira mirabilis] {{Wayback|url=http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Erbas/KURSATgeometrypro/golden%20spiral/logspiral-history.html |date=20070715203210 }} 等角螺线的历史和数学

[[Category:勒内·笛卡儿]]
[[Category:螺线]]
[[Category:曲线]]