查看“︁等腰梯形”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
|1=zh:鷂形;zh-cn:筝形;zh-hk:鳶形;zh-tw:鳶形;
}}
{{Infobox polygon
| image      = Isosceles trapezoid.svg
| caption    = 等腰梯形與其對稱軸
| type       = [[四邊形]]<br/>[[梯形]]
| edges      = 4
| symmetry   = [[二面體群|Dih<sub>2</sub>]], [ ], (*), 2階
| schläfli   = 
| wythoff    = 
| coxeter    =
| area       = 
| dual       = [[鳶形]]
| properties = [[凸多邊形|凸]], [[圓內接多邊形|環形]]
}}
在[[幾何學]]中，'''等腰梯形'''是一種[[凸多邊形|凸]][[四邊形]]，其存在一對互相[[平行]]的邊和一個能把這對邊平分的對稱軸，為[[梯形]]中的一個特例。由於其可以定義為兩側邊（又稱'''腰'''）等長且兩底角相等的梯形<ref name="trapezoid mathopenref">{{Cite web | url = http://www.mathopenref.com/trapezoid.html | title = trapezoid | publisher = Math Open Ref | access-date = 2019-09-08 | archive-url = https://web.archive.org/web/20180917082234/http://www.mathopenref.com/trapezoid.html | archive-date = 2018-09-17 | dead-url = yes }}</ref>，因此稱為等腰梯形。由於等腰梯形需要兩底角相等且在一對平行邊上要存在一個對稱軸的條件，因此非矩形的[[平行四邊形]]都不是等腰梯形。任何等腰梯形都會滿足一對邊互相平行（上底與下底）且兩側邊（兩腰）等長，且對角線等長，並且兩組底角相等且互補。<ref name="IsoscelesTrapezoid,MathWorld"/>

== 特例 ==
[[File:Isosceles trapezoid special cases (zh-hant).svg|thumb|280px|等腰梯形的特例]]
[[矩形]]和[[正方形]]通常會被認為是等腰梯形的特例，不過在部分使用嚴格定義的文獻中則不會將[[矩形]]和[[正方形]]歸類為等腰梯形。<ref>{{cite book |last1=Larson |first1=Ron |last2=Boswell |first2=Laurie |title=Big Ideas MATH, Geometry, Texas Edition |url=https://archive.org/details/bigideasmathgeom0000unse |date=2016 |publisher=Big Ideas Learning, LLC (2016) |isbn=978-1608408153 |page=[https://archive.org/details/bigideasmathgeom0000unse/page/398 398]}}</ref>

=== 三等邊梯形 ===
其他常見的特例包括了三條邊等長的'''三等邊梯形'''<ref>{{Cite web |url=http://dynamicmathematicslearning.com/quad-tree-web.html |title=Michael de Villiers, Hierarchical Quadrilateral Tree |accessdate=2019-09-08 |archive-date=2014-12-22 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141222102017/http://dynamicmathematicslearning.com/quad-tree-web.html |dead-url=no }}</ref>，例如5邊或以上的正多邊形的連續4個頂點組成的四邊形即屬此類。<ref>{{Cite web |url=http://planetmath.org/isoscelestrapezoid |title=isosceles trapezoid |accessdate=2019-09-08 |archive-date=2016-08-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160826222748/http://planetmath.org/isoscelestrapezoid |dead-url=no }}</ref>

=== 交叉等腰梯形 ===
任何具有恰好一個對稱軸的非自相交四邊形必須是等腰梯形或鳶形<ref name="esg">{{citation |title=Elementary Synthetic Geometry |first=George Bruce |last=Halsted |publisher=J. Wiley & sons |year=1896 |contribution=Chapter XIV. Symmetrical Quadrilaterals |url=https://books.google.com/books?id=H3ALAAAAYAAJ&pg=PA49 |pages=49–53 |authorlink=G. B. Halsted |accessdate=2019-09-08 |archive-date=2020-12-27 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201227183726/https://books.google.com/books?id=H3ALAAAAYAAJ&pg=PA49 |dead-url=no }}.</ref>。

但若考慮到邊自相交的情況，則恰好一個對稱軸的的四邊形又要再多考慮下列幾種情況：如有一對邊平行，另一對邊等長且交叉的'''交叉等腰梯形'''和兩對邊等長且其中一對邊相交但沒有任何一對邊平行的[[反平行四邊形]]。而'''交叉等腰梯形'''和[[反平行四邊形]]的凸包都是'''等腰梯形'''<ref>{{citation |title=The Century Dictionary and Cyclopedia |first1=William Dwight |last1=Whitney |first2= Benjamin Eli |last2=Smith |publisher=The Century co. |year=1911 |url=https://books.google.com/books?id=ownpAAAAMAAJ&pg=PA1547 |page=1547}}</ref>
{| class="wikitable"
|[[File:Isosceles_trapezoid_example.png|100px]]
|[[File:Crossed isosceles trapezoid.png|100px]]
|[[File:Antiparallelogram.svg|100px]]
|-
!凸等腰梯形
!交叉等腰梯形
![[反平行四邊形]]
|}

== 性質 ==
等腰梯形具有如下性质<ref name="trapezoid mathopenref"/>：
# 两条对角线相等。
# 同一底上的二内角相等。
# 对角互补，[[圆内接四边形|四顶点共圆]]。

依据以上性质，判定一个四边形是等腰梯形可以通过以下命题：

# 两腰相等的梯形是等腰梯形<ref name="IsoscelesTrapezoid,MathWorld"/>。
# 两条对角线相等的梯形是等腰梯形<ref>{{cite mathworld|urlname=Trapezoid|title=Trapezoid}}</ref>。
# 同一底上的二内角相等的梯形是等腰梯形<ref name="IsoscelesTrapezoid,MathWorld"/>。
=== 尺寸 ===
已知底邊長和側邊長的等腰梯形則可以確定其大小，包括外接圓半徑、高和面積等特性<ref name="IsoscelesTrapezoid,MathWorld">{{cite mathworld|urlname=IsoscelesTrapezoid |title=Isosceles Trapezoid}}</ref>。

已知等腰梯形底邊長為a和b、側邊為c，則高h為<ref name="IsoscelesTrapezoid,MathWorld"/>：
:<math>h=\sqrt{c^2-\tfrac{1}{4}{\left( b-a\right) }^2}</math>
=== 面積 ===
等腰梯形的面積計算方式與梯形相同，皆為上底加下底乘高[[除以二]]，但由於在等腰梯形中，已知側邊即可求得高，因此已知等腰梯形底邊長為a和b、側邊為c，則面積為<ref name="IsoscelesTrapezoid,MathWorld"/>：
:<math>A=\frac{1}{2}{\left( a+b\right) }\sqrt{c^2-\tfrac{1}{4}{\left( b-a\right) }^2}</math>

=== 外接圓 ===
等腰梯形的外接圓半徑為<ref>Trapezoid at Math24.net: Formulas and Tables [http://www.math24.net/trapezoid.html] {{Wayback|url=http://www.math24.net/trapezoid.html |date=20180628153032 }} Accessed 1 July 2014.</ref>
:<math>R=c\sqrt{\frac{ab+c^2}{4c^2-(a-b)^2}}.</math>：

若為[[矩形]]，則''a'' = ''b''可以進一步將式子化簡為<math>R=\tfrac{1}{2}\sqrt{a^2+c^2}</math><ref>{{Cite MathWorld |urlname=Rectangle |title=Rectangle}}</ref>。

== 參見 ==
*[[梯形]]
*[[等腰三角形]]
*[[反平行四边形]]

== 參考文獻 ==
{{refbegin|2}}
{{reflist}}
{{refend}}

[[Category:四邊形]]