查看“︁等腰三角形”︁的源代码

{{NoteTA
|G1=Math
|1=zh:鷂形;zh-cn:筝形;zh-hk:鳶形;zh-tw:鳶形;
}}
{{Infobox polygon
|name        = 等腰三角形
|image       = Triangle.Isosceles.svg
|caption     = 等腰三角形
|edges       = 3
|schläfli    = {3} （底角和頂角相等）
|area        = <math>\frac{c}{2}\sqrt{a^2-\frac{c^2}{4}} </math>或<math>\frac{1}{2}\,c\cdot h_c</math>
*底邊<math>c</math>
*腰<math>a</math>
*底邊的高<math>h_c</math>
|angle       = 60° (底角和頂角相等時)
*底角<math>\alpha</math>
*頂角<math>\gamma</math>
|dual        = [[相似形|相似]]的等腰三角形
}}
在幾何學中，'''等腰三角形'''（{{lang-en|Isosceles triangle}}）是指至少有兩[[邊 (幾何)|邊]]長度[[相等]]的[[三角形]]，因此會造成有2個角相等。相等的兩個邊稱等腰三角形的腰，另一邊稱為底邊，相等的兩個角稱為等腰三角形的底角，其餘的[[角]]叫做[[頂角 (幾何)|頂角]]。<ref name="中學數學實用辭典">《中學數學實用辭典》ISBN 957-603-093-5 九章出版.</ref>

等腰三角形的[[几何中心|重心]]、和[[垂心]]都位於頂點向底邊的[[高线|垂线]]，可以把等腰三角形分成兩個全等的[[直角三角形]]。<ref name="圖解數學辭典">《圖解數學辭典》天下遠見出版 P.37 [[三角形]] ISBN 986-417-614-5</ref>

[[等邊三角形]]是底邊和腰等長的等腰三角形，是等腰三角形的一個特殊形式。若等腰三角形的頂角為直角，稱為[[等腰直角三角形]]。

== 命名 ==
等腰三角形在[[英文]]中稱為isosceles，來自[[希臘文]]，意思是“等長的腳”<ref name="圖解數學辭典"/>

== 性質 ==
等腰三角形具有下列性質<ref name="中學數學實用辭典"/>{{rp|P.204}}：
*兩底角相等
*頂角的角平分線、底邊的中線和高互相重合
*當腰長等於底邊長時，則底角和頂角為60度（即等边三角形）
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="10" align="center"
|----
! align="left" | 邊長
| <math> a = b </math>
<math> c^2 = 2a^2(1-\cos(\gamma)) </math>
|----
! align="left" | [[角]]
| <math> \alpha = \beta, \,\gamma = 180^\circ -2 \alpha </math>
|----
! align="left" | [[面積]]
| <math>A \, = \, \frac{c}{2}\sqrt{a^2-\frac{c^2}{4}} </math> 或 <math> A \, = \, \frac{1}{2}\,c\cdot h_c</math>
|----
! align="left" | [[周長]]
| <math> u \, = \, 2a + c </math>
|}

===等腰三角形定理===
若一三角形的二邊相等，則二邊的對角相等，此定理列在歐幾里德的《幾何原本》中，稱為[[驢橋定理]]，也是等腰三角形定理。驢橋定理是在幾何原本的前面出現的較困難命題，是數學能力的一個門檻<ref>{{Cite web
 |url= http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/vol4no8e.htm
 |title= 利用『驢橋定理』探討國中教師之數學教學
 |author= 吳任哲
 |accessdate= 2013-08-21
 |work= HPM通訊第四卷8,9期合刊
 |archive-date= 2013-08-04
 |archive-url= https://web.archive.org/web/20130804194357/http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/vol4no8e.htm
 |dead-url= no
}}</ref>，無法理解此一命題的人可能也無法處理後面更難的命題。

驢橋定理的逆定理是若一三角形的二角相等，則二角的對邊相等。

===等腰三角形的全等===
若二等腰三角形，其腰相等，底邊也相等，即可以用SSS全等證明二個等腰三角形全等，而三角形的角可以用[[餘弦定理]]求得。

===等腰三角形的相似===
等腰三角形的頂角<math>\gamma</math> 和底角<math>\alpha</math>有以下的關係：
:<math> \textstyle 2\alpha+\gamma=180^\circ</math> 
已知其中一個就可以知道另一個，若二等腰三角形的頂角相等或底角相等，即可以用AAA[[相似]]證明二個等腰三角形全等，各邊的關係可以用[[正弦定理]]求得。

== 對稱軸 ==
等腰三角形為[[軸對稱]]，其對稱軸和底邊的[[高]]、[[中垂線]]、[[中線]]及頂角的[[角平分線]]重合（三线合一）<ref>{{cite book
 |author= 云南教育编辑部
 |title= 云南教育
 |publisher= 云南省教育厅
 |year= 1991
 |url= http://books.google.com.tw/books?id=fYUCAAAAMAAJ&q=%E7%AD%89%E8%85%B0%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2+%E5%B0%8D%E7%A8%B1%E8%BB%B8+%E4%B8%AD%E7%B7%9A&dq=%E7%AD%89%E8%85%B0%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2+%E5%B0%8D%E7%A8%B1%E8%BB%B8+%E4%B8%AD%E7%B7%9A&hl=en&sa=X&ei=yiYWUoj9AcmykgWvqIGwBQ&redir_esc=y
 |access-date= 2013-08-22
 |archive-date= 2019-05-03
 |archive-url= https://web.archive.org/web/20190503002441/https://books.google.com.tw/books?id=fYUCAAAAMAAJ&q=%E7%AD%89%E8%85%B0%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2+%E5%B0%8D%E7%A8%B1%E8%BB%B8+%E4%B8%AD%E7%B7%9A&dq=%E7%AD%89%E8%85%B0%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2+%E5%B0%8D%E7%A8%B1%E8%BB%B8+%E4%B8%AD%E7%B7%9A&hl=en&sa=X&ei=yiYWUoj9AcmykgWvqIGwBQ&redir_esc=y
 |dead-url= no
 }}</ref>。等腰三角形的[[內切圓|內心]]、[[外心]]、[[几何中心|重心]]、[[垂心]]及[[頂點 (幾何)|顶点]]所对[[旁心]]五心共線，都在對稱軸上<ref>{{cite book
 |author= 何思谦
 |title= 数学辞海
 |publisher= 山西敎育出版社
 |year= 2002
 |url= http://books.google.com.tw/books?id=1HviAAAAMAAJ&q=%E7%AD%89%E8%85%B0%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2+%E5%85%A7%E5%BF%83%E3%80%81%E5%A4%96%E5%BF%83%E3%80%81%E9%87%8D%E5%BF%83%E5%8F%8A%E5%9E%82%E5%BF%83&dq=%E7%AD%89%E8%85%B0%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2+%E5%85%A7%E5%BF%83%E3%80%81%E5%A4%96%E5%BF%83%E3%80%81%E9%87%8D%E5%BF%83%E5%8F%8A%E5%9E%82%E5%BF%83&hl=en&sa=X&ei=si0WUq6PLMP4kAXjs4DQCA&redir_esc=y
 |access-date= 2013-08-22
 |archive-date= 2021-01-08
 |archive-url= https://web.archive.org/web/20210108190729/https://books.google.com.tw/books?id=1HviAAAAMAAJ&q=%E7%AD%89%E8%85%B0%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2+%E5%85%A7%E5%BF%83%E3%80%81%E5%A4%96%E5%BF%83%E3%80%81%E9%87%8D%E5%BF%83%E5%8F%8A%E5%9E%82%E5%BF%83&dq=%E7%AD%89%E8%85%B0%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2+%E5%85%A7%E5%BF%83%E3%80%81%E5%A4%96%E5%BF%83%E3%80%81%E9%87%8D%E5%BF%83%E5%8F%8A%E5%9E%82%E5%BF%83&hl=en&sa=X&ei=si0WUq6PLMP4kAXjs4DQCA&redir_esc=y
 |dead-url= no
 }}</ref>。
{|
 | [[File:Isosceles-triangle-more.svg|250px]]
 | 等腰三角形 
* {{legend|#94008a|對稱軸}}
* {{legend|#181FED|中垂線和外心}}
* {{legend|#ff0000|中線和重心}}
* {{legend|#00940A|角平分線和內心}}
 |}

== 和其他圖形的關係 ==
*二個底邊相等的等腰三角形可以組合成一個[[鷂形]]，此鷂形有一個對稱軸，即為二等腰三角形的高。
*二個全等的等腰三角形可以組合成一個[[菱形]]，此菱形有二個對稱軸，包括二等腰三角形的高，以及等腰三角形的底邊。
*[[圆锥]]的[[投影圖]]中有一面即為等腰三角形。
*將[[扇形]]的二半徑和扇形的弦相連，也是等腰三角形。

== 相關條目 ==
*[[驴桥定理]]
*[[等邊三角形]]
*[[直角三角形]]
*[[黄金三角形]]

== 參考文獻 ==
{{reflist|2}}
{{多邊形}}
[[Category:三角形]]