查看“︁等效半徑”︁的源代码

{{redirect|平均半徑|天文學中的用法|平均半徑 (天文學)}}

'''等效半徑'''（或'''平均半徑'''）是在[[應用科學]]中具有與非圓形或非球形物體相同周長、面積或體積的圓或球體的半徑。'''等效直徑'''（或'''平均直徑'''）（<math>D</math>）是等效半徑的兩倍。

== 周長等效值 ==
[[Image:Using a DTApe.JPG|thumb|right|200px|用校準的卷尺顯示胸徑，量測樹木的周長（假設膠帶呈圓形）。]]

半徑「R」的[[圓周|圓周長]]是<math>2 \pi R</math>。給定非圓形對象「P」的周長，可以通過設定來計算其「周長等效半徑」：

:<math>P = 2\pi R_\text{mean}</math>
或者，另一種選擇是：
:<math>R_\text{mean} = \frac{P}{2\pi}</math>

例如，邊長為「L」的正方形，周長為<math>4L</math>。將周長設定為等於圓的周長意味著

:<math>R_\text{mean} = \frac{2L}{\pi} \approx 0.6366 L</math>

應用：
* [[帽子|美國帽子尺寸]]是以英寸為單位的頭部周長除以[[圓周率|π]]，四捨五入到最接近的1/8英寸。這對應於1D的平均直徑<ref>{{cite book |last1=Bello |first1=Ignacio |last2=Britton |first2=Jack Rolf |date=1993 |title=Topics in Contemporary Mathematics |edition=5th |page=512 |location=Lexington, Mass |publisher=D.C. Heath |isbn=9780669289572}}</ref>。
*{{link-en|胸徑|Diameter at breast height}}是[[樹幹]]的周長，在4.5英尺的高度量測，除以π。這對應於1D的平均直徑。它可以直接用{{le|圍帶|Girthing tape}}量測<ref>{{cite book |last1=West |first1=P. W. |date=2004 |title=Tree and Forest Measurement |chapter=Stem diameter |pages=13ff |location=New York |publisher=Springer |isbn=9783540403906 }}</ref>。

== 等效面積 ==
[[Image:Wetted Perimeter.svg|thumb|right|梯形明渠的橫截面積，紅色突出顯示了水與河道接觸的{{link-en|濕潤周長|Wetted perimeter}}。[[水力直徑]]是具有與濕潤周長相同周長的等效圓形配置。]]

半徑為「R」的[[圓的面積|圓面積]]為<math>\pi R^2</math>。給定非圓形對象「A」的面積，可以通過設定來計算其'''面積等效半徑'''：

:<math>A = \pi R^2_\text{mean}</math>
或者，另一種選擇是：
:<math>R_\text{mean} = \sqrt{\frac{A}{\pi}}</math>

通常考慮的面積是[[截面 (幾何)|橫截面]]的面積。

例如，邊長為「L」的正方形的面積為<math>L^2</math>。將該面積設定為等於圓的面積意味著

:<math>R_\text{mean} = \sqrt{\frac{1}{\pi}} L \approx 0.3183 L</math>

類似地，具有[[半長軸]]<math>a</math>和[[半短軸]]<math>b</math>的[[橢圓]] 有著平均半徑<math>R_\text{mean}=\sqrt{a \cdot b}</math>。

對於一個圓，其<math>a=b</math>，這簡化為<math>R_\text{mean}=a</math>。

應用：
* [[水力直徑]]的定義類似於管道「A」的[[截面 (幾何)|橫截面積]]的4倍，除以其[[濕潤周長|「濕」周長]]「P」。對於半徑為「R」的圓形管道，在滿流狀態下，這是

:<math>D_\text{H} = \frac{4 \pi R^2}{2 \pi R} = 2R</math>
: 正如人們所料。這相當於上述2D平均直徑的定義。然而，由於歷史原因，[[水力半徑]]被定義為管道的橫截面積「A」除以其濕潤周常「P」，這導致<math>D_\text{H}=4R_\H</math>，水力半徑是二維平均半徑的「一半」<ref>{{cite journal | last1=Wei | first1=Maoxing | last2=Cheng | first2=Nian-Sheng | last3=Lu | first3=Yesheng | date=October 2023 | title=Revisiting the concept of hydraulic radius | journal=Journal of Hydrology | volume=625 |issue=Part B |page=130134 | doi=10.1016/j.jhydrol.2023.130134 | bibcode=2023JHyd..62530134W }}</ref>。
*在建築的[[骨料]]分類中，等效直徑是「具有相等骨料截面積的圓的直徑」，通過<math>D=2\sqrt{\frac{A}{\pi}}</math>計算得出。它被用於許多數字影像處理程式中<ref>{{cite book | doi=10.1016/B978-0-12-849908-5.00013-4 | chapter=Asphalt mix homogeneity | title=Structural Behavior of Asphalt Pavements | date=2016 | last1=Sun | first1=Lijun | pages=821–921 | isbn=978-0-12-849908-5 }}</ref>。

== 等效體積 ==
{{further|等效半徑 (天文學)|等效球直徑}}
[[File:Ellipsoide.svg|thumb|right|300px|球體（頂部）、旋轉橢球體（左側）和三軸橢球體（右側）。]]

半徑為「R」的[[球面#包圍的體積|球體體積]]為<math>\frac{4}{3}\pi R^3</math>。給定非球形物體「V」的體積，可以通過設定來計算其'''體積等效半徑''' 

:<math>V = \frac{4}{3}\pi R^3_\text{mean}</math>
或者，另一種選擇是：
:<math>R_\text{mean} = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}</math>

例如，邊長為「L」的立方體的體積為<math>L^3</math>。將該體積設定為等於球體的體積意味著

:<math>R_\text{mean} = \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi}} L \approx 0.6204 L</math>

類似地，具有軸<math>a</math>、<math>b</math>和<math>c</math>的[[三軸橢球體]]的平均半徑<math>R_\text{mean}=\sqrt[3]{a \cdot b \cdot c}</math><ref name="Leconte">{{cite journal|url=https://www.aanda.org/articles/aa/pdf/2011/04/aa15811-10.pdf|title=Distorted, nonspherical transiting planets: impact on the transit depth and on the radius determination|first1=J.|last1=Leconte|first2=D.|last2=Lai|first3=G.|last3=Chabrier|journal=[[Astronomy & Astrophysics]]|volume=528|issue=A41|year=2011|pages=9|doi=10.1051/0004-6361/201015811|arxiv=1101.2813|bibcode=2011A&A...528A..41L|access-date=2024-10-06|archive-date=2024-09-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20240923011034/https://www.aanda.org/articles/aa/pdf/2011/04/aa15811-10.pdf|dead-url=no}}</ref>。旋轉橢球體的公式是以下情况的特例：<math>a=b</math>。同樣，具有軸<math>a</math>和<math>c</math>的[[扁球體]]或[[旋轉橢球體]]軸的平均半徑為<math>R_\text{mean}=\sqrt[3]{a^{2} \cdot c }</math><ref name="Chambat"/>。對於一個球體，其中<math>a=b=c</math>，這簡化為<math>R_\text{mean}=a</math>。

應用：
* 對於行星[[地球]]，它可以近似為一個半徑為{{val|6378.1|u=km}}和 {{val|6356.8|u=km}}，3D平均半徑為<math>R=\sqrt[3]{6378.1^{2}\cdot6356.8}=6371.0\text{ km}</math><ref name="Chambat">{{cite journal|url=http://frederic.chambat.free.fr/geophy/inertie_pepi01/chambat_valette_publie01_with_errata.pdf.pdf|title=Mean radius, mass, and inertia for reference Earth models|first1=F.|last1=Chambat|first2=B.|last2=Valette|journal=[[Physics of the Earth and Planetary Interiors]]|volume=124|issue=3–4|year=2001|page=4|doi=10.1016/S0031-9201(01)00200-X|bibcode=2001PEPI..124..237C|access-date=2024-10-06|archive-date=2024-10-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20241007101708/http://frederic.chambat.free.fr/geophy/inertie_pepi01/chambat_valette_publie01_with_errata.pdf.pdf|dead-url=no}}</ref>。

== 其它等價物 ==

「[[地球半徑|真實半徑]]」是[[立體幾何|實體圖形]]（如橢球體）的[[表面積]]等效半徑。

{{link-en|密切圓|Osculating circle}}和[[密切球面]]分別定義了[[平面圖形]]和實體圖形在特定[[切點]]處的[[曲率]]等效半徑。

== 相關條目 ==
* {{link-en|天線等效半徑|Antenna equivalent radius}}
* [[雲滴有效半徑]]
* {{link-en|立方平均值|Cubic mean}}
* [[參考橢球]]
* [[地球半徑]]
* [[有效半徑|星系有效半徑]]
* [[大地水準面]]
* [[幾何平均數]]
*  {{link-en|半直徑|Semidiameter}}

== 參考資料 ==
{{reflist}}

[[Category:半徑]]
[[Category:平均數|R]]