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在[[数学分析]]中，一个[[函数]][[集合 (數學)|集合]]被称为'''等度连续'''的，如果其中的函数都是[[连续]]的并且当[[自变量]]变动时，它们的取值都在“相同程度”的范围中浮动。一般来说，集合里的函数是有限个或可数无限个。

等度连续最早出现在[[阿尔泽拉-阿斯科利定理]]中<ref>Ascoli, G. (1883–1884), "Le curve limiti di una varietà data di curve", Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 18 (3): 521–586 .</ref><ref name="pr">{{cite journal |last = Arzelà|first = Cesare|author-link = 切薩雷·阿澤拉|year = 1895|title = Sulle funzioni di linee|journal =  Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat.|volume = 5|issue = 5|pages = 55–74}}</ref>。阿尔泽拉—阿斯科利定理说明，考虑某个[[紧集|紧]][[豪斯多夫空间]]''X''，以及建立在它上面的[[连续函数]]的集合''C''(''X'')的一个子集，这个子集是紧集[[当且仅当]]它是[[闭集]]。作为结论，''C''(''X'') 里的一个函数[[序列]][[一致收敛]]当且仅当它是等度连续的，并且[[逐点收敛]]。<ref name="pr"/>
==定义==

设 <math>(f_i)_{i \in I}</math> 为从[[拓扑空间]] ''E'' 射到[[度量空间]] ''F'' 的一组函数。<math>(f_i)_{i \in I}</math> 是等度连续的当且仅当
: <math>\forall \varepsilon > 0, \forall x \in E, \exists V\in\mathcal{V}(x), \forall i \in I, \forall y \in V, d(f_i(x),f_i(y)) \leq \varepsilon</math>

如果拓扑空间 ''E'' 上定义了一个[[距离]]，那么一组函数 <math>(f_i)_{i \in I}</math> 是一致等度连续的当且仅当
: <math>\forall \varepsilon > 0, \exists \eta > 0, \forall i \in I, \forall x \in E, \forall y \in B(x,\eta), d(f_i(x),f_i(y)) \leq \varepsilon</math>

作为对比，[[命题]]：“一组函数 <math>(f_i)_{i \in I}</math> 全都是连续的”的数学化形式如下：
: <math>\forall i \in I, \forall \varepsilon > 0, \forall x \in E, \exists V\in\mathcal{V}(x), \forall y \in V, d(f_i(x),f_i(y)) \leq \varepsilon</math>
 
可以看出，对于一般的连续性，邻域 ''V'' 的选择是随 ''i'' 而变的，也就是说对每个函数，浮动的形式都不一样。而对于等度连续，邻域 ''V'' 的选择不随 ''i'' 而变，只取决于 ''x'' 和 <math>\varepsilon</math>。而在一致等度连续中，''V'' 的选择只取决于 <math>\varepsilon</math> 了。

==参见==
*[[一致连续]]
*[[阿尔泽拉-阿斯科利定理]]
*[[紧空间]]
==参考来源==

<references/>

[[Category:数学分析]]
[[Category:泛函分析]]
[[Category:连续映射]]