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{{NoteTA |G1=Math}}
'''等差数列'''，又名'''算术数列'''（{{lang-en|Arithmetic sequence{{notetag|也有人使用arithmetic progression，簡稱A.P.}}}}），是[[数列]]的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等，该差值称为'''公差'''（{{lang|en|common difference}}）。

例如数列：

:{{math|3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}} 

就是一个等差数列。 在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公差都相等{{math|}}。

== 性质 ==

如果一个等差数列的首项記作 {{math|''a<sub>1''</sub>}}，公差記作 {{math|''d''}}，那么该等差数列第 {{math|''n''}} 项 {{math|''a<sub>n</sub>''}} 的一般項为：

:<math>a_n=a_1+(n-1)d</math>

換句話說，任意一個等差数列 {{math|{''a<sub>n</sub>''} }}都可以寫成

:<math>\{a\,,\,\,a+d\,,\,\,a+2d\,,\,\cdots\,,\,\,a+(n-1)d\}</math>


在一個等差數列中，給定任意兩相連項 {{math|''a''<sub>''n''+1</sub>}} 和 {{math|''a<sub>n</sub>''}} ，可知公差

:<math>d=a_{n+1}-a_n</math>

給定任意兩項 {{math|''a<sub>m</sub>''}} 和 {{math|''a<sub>n</sub>''}} ，則有公差

:<math>d=\frac{a_m-a_n}{m-n}</math>


此外，在一個等差数列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之和，為原來該項的兩倍。舉例來說，{{math|''a''<sub>1</sub> + ''a''<sub>3</sub>}} = {{math|2''a''<sub>2</sub>}}。

更一般地說，有：

:<math>a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n</math>

證明如下：

:<math>\begin{align}
a_{n-1}+a_{n+1} & = [a+(n-2)d]+(a+nd) \\
& = 2a+(2n-2)d \\
& = 2[a+(n-1)d] \\
& = 2a_n \\
\end{align}</math>

證畢。


從另一個角度看，等差數列中的任意一項，是其前一項和後一項的[[算術平均]]：

:<math>a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}</math>

此結果從上面直接可得。


如果有正整數 {{math|''m'', ''n'', ''p'', ''q''}}，使得 <math>m+n=p+q</math>，那么则有：

:<math>a_m+a_n=a_p+a_q</math>

證明如下：

:<math>\begin{align}
a_m+a_n &=[a+(m-1)d]+[a+(n-1)d] \\
&=2a+(m+n-2)d \\
&=2a+(p+q-2)d \\
&=[a+(p-1)d]+[a+(q-1)d] \\
&=a_p+a_q \\
\end{align}</math>


由此可將上面的性質一般化成：

:<math>a_{n-k}+a_{n+k}=2a_n</math>

:<math>a_n=\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}</math>

其中 {{math|''k''}} 是一個小於 {{math|''n''}} 的整數。


給定一個等差數列 <math>\{a_n\}</math>，則有：

* <math>\{b+a_n\}</math> 是一個等差數列。
* <math>\{b\cdot a_n\}</math> 是一個等差數列。
* <math>\{b^{a_n}\}</math> 是一個[[等比數列]]。
* <math>\{\frac{b}{a_n}\}</math> 是一個[[等諧數列]]。


從等差數列的一般項可知，任意一個可以寫成

:<math>a_n=p+qn</math>

形成的數列，都是一個等差數列，其中公差 {{math|''d''}} = {{math|''q''}}，首項 {{math|''a''}} = {{math|''p'' + ''q''}}。

== 等差數列和 ==

一個等差數列的首 {{math|''n''}} 項之和，稱為'''等差数列和'''（{{lang|en|sum of arithmetic sequence}}）或'''算術級數'''（{{lang|en|arithmetic series}}），記作 {{math|''S<sub>n</sub>''}}。

舉例來說，等差數列 {{math|{1, 3, 5, 7} }}的和是 {{math|1 + 3 + 5 + 7}} = {{math|16}}。


等差數列求和的公式如下：

:<math>\begin{align}
S_n & = \frac{n}{2}\,(a+a_n) \\
& = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d] \\
& = an+d\cdot\frac{n(n-1)}{2}
\end{align}</math>

等差数列和在中文教科書中常表达为:
::'''一个等差数列的和，等于其首项与末项的和，乘以项数[[除以2]]。'''

公式證明如下：

将等差數列和写作以下两种形式：

:<math> S_n=a+(a+d)+(a+2d)+\dots+[a+(n-2)d]+[a+(n-1)d]</math>

:<math> S_n=[a_n-(n-1)d]+[a_n-(n-2)d]+\dots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n</math>

将两公式相加来消掉公差 {{math|''d''}}，可得

:<math>\ 2S_n=n(a+a_n)</math>

整理可得第一種形式。

代入 <math>a_n=a+(n-1)d</math>，可得第二種及第三種形式。


從上面的第三種形式展開可見，任意一個可以寫成

:<math>S_n=pn+qn^2</math>

形成的數列和，其原來數列都是一個等差數列，其中公差 {{math|''d''}} = {{math|2''q''}}，首項 {{math|''a''}} = {{math|''p'' + ''q''}}。

== 等差数列积 ==

一個等差數列的首 {{math|''n''}} 項之積，稱為'''等差数列積'''（{{lang|en|product of arithmetic sequence}}），記作 {{math|''P<sub>n</sub>''}}。

舉例來說，等差數列 {{math|{1, 3, 5, 7} }}的積是 {{math|1 × 3 × 5 × 7}} = {{math|105}}。


等差数列積的公式较為复杂，須以[[Γ函數]]表示：

:<math>P_n =d^n\cdot\frac{\Gamma(\frac{a}{d}+n)}{\Gamma(\frac{a}{d})}</math>

證明如下：

:<math>\begin{align}
P_n&=a\cdot(a+d)\cdot(a+2d)\cdot\cdots\cdot[a+(n-1)d] \\
&=d^n\cdot\left(\frac{a}{d}\right)\cdot\left(\frac{a}{d}+1\right)\cdot\left(\frac{a}{d}+2\right)\cdot\cdots\cdot\left[\frac{a}{d}+(n-1)\right] \\
&= d^n \cdot{\left(\frac{a}{d}\right)}^{\overline{n}} \\
&=d^n\cdot\frac{\Gamma(\frac{a}{d}+n)}{\Gamma(\frac{a}{d})} \\
\end{align}</math>

這裡的 <math>x^{\overline{n}}</math> 为 {{math|''x''}} 的 {{math|''n''}} 次[[上升阶乘幂]]，例子如 <math>1.1^{\overline{3}}=1.1\times 2.1\times 3.1</math> 。


使用上面的例子，對於數列 {{math|{1, 3, 5, 7} }}：

:<math>\begin{align}
P_4&=2^4\cdot\frac{\Gamma(\frac{1}{2}+4)}{\Gamma(\frac{1}{2})} \\
&=16\cdot\frac{11.6317\dots}{1.77245\dots} \\
&=105
\end{align}</math>

結果相等。

== 参见 ==
* [[序列]]
* [[數列]]
* [[級數]]
* [[算術平均]]
* [[等比數列]]
* [[等諧數列]]

==注释==
{{notefoot}}

== 参考文献 ==
<references />
* Bhardwaj, S., Abiy, T., Kulkarni, O., et al. "Geometric Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/ {{Wayback|url=https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/ |date=20210423235307 }}.
* Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html |date=20210419070908 }}.
* Weisstein, Eric W. "Geometric Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html |date=20190323122116 }}.

{{-}}
{{級數}}

[[Category:序列]]