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{{noteTA
|G1=Math
|1=zh-cn:筝形;zh-tw:鳶形;zh-hk:鷂形;
}}
{{Proofreader_needed|time=2024-09-14T11:21:57+00:00en}}
[[File:Equidiagonal quadrilateral.svg|thumb|300px|等軸四邊形，红色为[[对角线]]，蓝色为[[双中线]]，其[[伐里農平行四邊形]]为[[菱形]]]]
在[[欧几里得几何]]中，'''{{PAGENAME}}'''（{{lang-en|Equidiagonal quadrilateral}}，也称为'''等軸四邊形'''）是指[[对角线]]长相等的凸[[四边形]]。等軸四邊形是古[[印度数学]]中的重要概念，古印度[[数学家]]把四边形先分为等轴和非等轴，再往下分类<ref>{{citation | last = Colebrooke | first = Henry-Thomas | page = 58 | publisher = John Murray | title = Algebra, with arithmetic and mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bhascara | url = https://books.google.com/books?id=ebZIAAAAcAAJ&pg=PA58 | year = 1817}}.</ref>。换句话说，就是将[[等腰梯形]]、[[矩形]]等分为一类，[[直角梯形]]、[[菱形]]等分为另一类。

== 特殊例子 ==
等对角线四边形包含[[等腰梯形]]、[[矩形]]和[[正方形]]。

[[File:Reuleaux kite.svg|thumb|[[周长]]-[[直径]]比最大的等轴鷂形内接于[[勒洛三角形]]。]]
[[周长]]-[[直径]]比最大的四边形是内角为π/3、5π/12、5π/6和5π/12的等轴[[鷂形]]。<ref>{{citation |first=D.G. |last=Ball |title=A generalisation of π |journal=Mathematical Gazette |volume=57 |issue=402 |year=1973 |pages=298–303 |doi=10.2307/3616052}}, {{citation |first1=David |last1= Griffiths |first2=David |last2=Culpin |title=Pi-optimal polygons |journal=Mathematical Gazette |volume=59 |issue=409 |year=1975 |pages=165–175 |doi=10.2307/3617699}}.</ref>

== 特征 ==
当且仅当凸四边形的[[伐里農平行四邊形]]（由四边的中点连接而成的平行四边形）为[[菱形]]，则它是等对角线的，相当于此凸四边形的[[双中线]]（伐里農平行四邊形的对角线）互相[[垂直]]。<ref name="adventures"/>

设某凸四边形的对角线长度为<math>p</math>和<math>q</math>，双中线长度<math>m</math>和<math>n</math>，则它是等对角线的，当且仅当<ref name=J2014/>{{rp|Prop.1}}

:<math>pq=m^2+n^2.</math>

== 面积 ==
等对角线四边形的[[面积]]''K''可以用其双中线长度''m''和''n''求出。某四边形是等对角线的，当且仅当<ref name=Josefsson>{{citation | last = Josefsson | first = Martin | journal = Forum Geometricorum | pages = 17–21 | title = Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201304.pdf | volume = 13 | year = 2013 | accessdate = 2024-09-14 | archive-date = 2024-03-24 | archive-url = https://web.archive.org/web/20240324101323/http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201304.pdf | dead-url = yes }}.</ref>{{rp|p.19;}} <ref name=J2014>{{citation | last = Josefsson | first = Martin | journal = Forum Geometricorum | pages = 129–144 | title = Properties of equidiagonal quadrilaterals | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201412index.html | volume = 14 | year = 2014 | accessdate = 2024-09-14 | archive-date = 2024-06-05 | archive-url = https://web.archive.org/web/20240605032351/https://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201412index.html | dead-url = yes }}.</ref>{{rp|Cor.4}}

:<math>\displaystyle K=mn.</math>

这是因为凸四边形的面积是其伐里農平行四邊形的两倍，以及此平行四邊形的对角线是此凸四边形的双中线。根据双中线长度的公式，等对角线四边形的面积可以用四边边长<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>和<math>d</math>以及对角线[[中点]]的距离<math>x</math>表示：<ref name=Josefsson/>{{rp|p.19}}
:<math>K=\tfrac{1}{4}\sqrt{(2(a^2+c^2)-4x^2)(2(b^2+d^2)-4x^2)}.</math>

在凸四边形的面积公式中设''p'' = ''q''，也可以得到其他面积公式。

==与其它四边形的关系==
当且仅当[[平行四边形]]是[[矩形]]，则它是等对角线的<ref>{{citation | last = Gerdes | first = Paulus | issue = 2 | journal = Educational Studies in Mathematics | jstor = 3482571 | pages = 137–162 | title = On culture, geometrical thinking and mathematics education | volume = 19 | year = 1988 | doi = 10.1007/bf00751229}}.</ref>

等轴四边形的[[对偶多边形]]是[[正交四边形]]，当且仅当四边形的[[伐里農平行四邊形]]是正交的（菱形），则它是等轴的；当且仅当它的伐里農平行四邊形是等轴的（矩形），则它是正交的<ref name="adventures">{{citation | last = de Villiers | first = Michael | isbn = 9780557102952 | page = 58 | publisher = Dynamic Mathematics Learning | title = Some Adventures in Euclidean Geometry | url = https://books.google.com/books?id=R7uCEqwsN40C&pg=PA58 | year = 2009}}.</ref>。换言之，当且仅当四边形的双中线互相垂直，则它的对角线相等；当且仅当四边形的双中线互相相等，则它的对角线互相垂直。

===等腰梯形===
[[File:Bicentric isosceles trapezoid 001.svg|thumb|right|200px|对角线相等的圆外切四边形必定是圆外切等腰梯形]]
通过[[全等三角形]]（SSS），易证[[当且仅当]][[梯形]]是[[等腰梯形]]时，则它的对角线相等。同样，通过[[全等三角形]]（SAS）易得[[圆内接四边形]]对角线相等时必定是等腰梯形。

[[圆外切四边形]]的对角线长{{mvar|p, q}}与四个顶点出发的切线长{{mvar|e, f, g, h}}的关系为
<ref name=Hajja>{{citation
|last=Hajja
|first=Mowaffaq
|journal=Forum Geometricorum
|pages=103–106
|title=A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic
|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2008volume8/FG200814.pdf
|volume=8
|year=2008
|accessdate=2024-09-18
|archive-date=2019-11-26
|archive-url=https://web.archive.org/web/20191126135341/http://forumgeom.fau.edu/FG2008volume8/FG200814.pdf
|dead-url=yes
}}.</ref>{{rp|Lemma2}}：
:<math>\displaystyle p=\sqrt{\frac{e+g}{f+h}\Big((e+g)(f+h)+4fh\Big)},</math>
:<math>\displaystyle q=\sqrt{\frac{f+h}{e+g}\Big((e+g)(f+h)+4eg\Big)}.</math>

当p=q时，两边平方，相减后可得<math>e+h=f+g</math>，暨一对对边长相等，通过[[全等三角形]]（SSS）可得其为[[等腰梯形]]，暨对角线相等的圆外切四边形必定是'''圆外切等腰梯形'''。

===中方四边形===
在所有四边形中，等轴正交四边形（对角线的长度大于或等于所有边）的直径-面积比最高，所以是{{le|最大面积最小直径四边形|biggest little polygon}}问题中''n''&nbsp;=&nbsp;4的解。正方形是其中一例，但此类四边形有无限个。等轴正交四边形也称作'''中方四边形'''（{{lang-en|midsquare quadrilateral}}）<ref name=J2014/>{{rp|p. 137}}，因为它们是唯一一种伐里農平行四邊形为正方形的四边形。设此类四边形的相邻边长为<math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>和<math>d</math>，则其面积等于<ref name=J2014/>{{rp|Thm.16}}

:<math>K=\frac{1}{4}\left(a^2+c^2+\sqrt{4(a^2c^2+b^2d^2)-(a^2+c^2)^2}\right)</math>

中方平行四边形即是正方形。

<gallery>
Midsquare quadrilateral.svg |一般中方四边形
Midsquare trapezoid.svg | 中方[[梯形]]
Midsquare kite.svg | 中方[[筝形]]
Midsquare square.svg | “中方[[平行四边形]]”：[[正方形]]
</gallery>

==参考文献==
{{reflist}}

[[Category:四邊形]]