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在[[数学]]中，一个'''等变映射'''（{{lang|en|equivariant map}}）是两个[[集合 (数学)|集合]]之间与[[群作用]]交换的一个[[函数]]。具体地，设 ''G'' 是一个[[群]]，''X'' 与 ''Y'' 是两个关联的 [[群作用|''G''-集合]]。一个函数 ''f'' : ''X'' &rarr; ''Y'' 称为等变，如果
:''f''(''g''&middot;''x'') = ''g''&middot;''f''(''x'')
对所有 ''g'' &isin; ''G'' 与 ''x'' &isin; ''X'' 成立。注意如果其中一个或两个作用是右作用，则等变条件必须适当地修改：
:''f''(''x''&middot;''g'') = ''f''(''x'')&middot;''g'' ; （右-右）
:''f''(''x''&middot;''g'') = ''g''<sup>&minus;1</sup>&middot;''f''(''x'') ; （右-左）
:''f''(''g''&middot;''x'') = ''f''(''x'')&middot;''g''<sup>&minus;1</sup> ; （左-右）

等变映射是 ''G''-集合[[范畴 (数学)|范畴]]（对一个取定的 ''G''）中的[[同态]]。从而它们也称为 '''''G''-映射'''或 '''''G''-同态'''。''G''-集合的[[同构]]就是等变[[双射]]。

等变条件也能理解为下面的[[交换图表]]。注意 <math>g\cdot</math> 表示映射取元素 <math>z</math> 得到 <math>g\cdot z</math>。

[[Image:equivariant commutative diagram.png|center|175px]]

== 交结映射 ==
对 ''G'' 的[[线性表示]]，由一个完全类似的定义。具体地说，如果 ''X'' 与 ''Y'' 是 ''G'' 的两个线性表示的表示空间，则一个[[线性映射]] ''f'' : ''X'' &rarr; ''Y'' 称为这个表示的一个'''交结映射'''（{{lang|en|intertinig map 或 intertwiner}}）如果它与 ''G'' 的作用交换。从而一个交结算子是两个线性表示/作用时等变映射的特例。

或者，''G'' 在[[体 (数学)|域]] ''K'' 上表示的交结映射与 ''K''[''G'']-[[模]]的一个[[模|模同态]]是同一个东西，这里 ''K''[''G'']是 ''G'' 的[[群环]]。

在某些情形，如果 ''X'' 与 ''Y'' 都是[[不可约表示]]，则一个交结映射（若不是[[零映射]]）只有两个表示等价（即作为[[模]]是[[同构]]的）时才存在。这样的交结映射除了差一个乘法因子（''K'' 中一个非零[[标量 (数学)|标量]]）是惟一的。这些性质当 ''K''[''G''] 的像是具有中心 ''K'' d的[[单代数]]时成立（由所谓的[[舒尔引理]]：参见[[单模]]）。作为一个推论，在一些重要情形构造一个交结映射足够证明表示同样是有效的。

== 范畴描述 ==
等变映射可以直截了当地推广到任意[[范畴 (数学)|范畴]]。任何群 ''G'' 可以视为一个具有一个[[对象 (范畴论)|对象]]的范畴（这个范畴中的[[态射]]就是 ''G'' 的元素）。给定任意范畴 ''C''，在这个范畴 ''C'' 中 ''G'' 的一个表示是从 ''G'' 到 ''C'' 的一个[[函子]]。这样一个函子选出 ''C'' 的一个对象和这个对象的[[自同构]]的一个[[子群]]。例如，一个 ''G''-几何等价于从 ''G'' 到[[集合范畴]] '''Set''' 的一个函子，而线性表示等价于到一个域 ''K'' 上的[[向量空间范畴]] '''Vect'''<sub>''K''</sub> 的一个函子。

给定 ''G'' 在 ''C'' 中两个表示， &rho; 和 &sigma;，这两个表示之间一个等变映射不过是从 &rho; 到 &sigma; 的一个[[自然变换]]。把自然变换做为态射，我们可以构造 ''G'' 在 ''C'' 中所有表示的范畴。这恰是[[函子范畴]] ''C''<sup>''G''</sup>。

另一个例子，取 ''C'' = '''Top''' [[拓扑空间范畴]]。''G'' 在 '''Top''' 中一个表示是一个[[拓扑空间]]，''G'' [[连续函数 (拓扑学)|连续]]作用它上面。则等变映射是表示之间的一个连续映射 ''f'' : ''X'' &rarr; ''Y''，且与 ''G'' 的作用交换。

[[Category:群作用|D]]
[[Category:表示论|D]]