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在[[數學]]的[[範疇論]]分支，若干個[[函數 (數學)|函數]]的'''等化子'''（{{lang-en|equaliser}}）是使其值[[相等]]的參數的[[集合 (數學)|集合]]。換言之，兩個函數<math>f, g</math>的等化子，是[[方程]]<math>f(x) = g(x)</math>的{{le|解集|solution set}}。僅得兩個函數時，也稱為其'''差核'''，因為等於兩個函數之[[減法|差]]的{{le|核 (範疇論)|Kernel (category theory)|核}}。

== 定義 ==
設<math>X</math>與<math>Y</math>為[[集合 (數學)|集合]]。又設<math>f, g</math>為從<math>X</math>至<math>Y</math>的[[函數 (數學)|函數]]。則<math>f</math>與<math>g</math>的'''等化子'''為<math>X</math>中所有滿足<math>f(x) = g(x)</math>的元素<math>x</math>的集合，以符號表示為：
: <math> \operatorname{Eq}(f, g) := \{x \in X \mid f(x) = g(x)\}. </math>
等化子可以表示成<math>\mathrm {Eq}(f, g)</math>或類似的符號，如改成小楷<math>\mathrm{eq}</math>。有時[[濫用符號|非正式]]地寫成<math>\{f = g\}</math>。

上述定義用到兩個函數<math>f,g </math>，但其實不必限制為兩個函數，甚至不必為[[有限集|有限多]]個函數。一般而言，若<math>\mathcal F</math>是一族函數，從<math>X</math>映向<math>Y</math>，則<math>\mathcal F</math>的元素的等化子，是使<math>f(x)</math>對所有<math>f \in \mathcal F</math>皆相等的元素<math>x \in X</math>的集合。以符號表示：
: <math> \operatorname{Eq}(\mathcal{F}) := \{x \in X \mid \forall f,g \in \mathcal{F}, \; f(x) = g(x)\}. </math>
若<math>\mathcal F</math>可以寫成<math>\{f, g, h, \ldots \}</math>，則等化子亦記為<math>\mathrm{Eq}(f, g, h, \ldots)</math>。此情況下，亦可非正式地寫成<math>\{f = g = h = \cdots \}</math>。

作為一般定義的[[退化 (數學)|退化]]，考慮<math>\mathcal F</math>為[[單元集]]<math>\{f \}</math>。由於<math>f(x)</math>必然等於自己，等化子等於整個[[定義域]]<math>X</math>。更退化的情況下，設<math>\mathcal F</math>為[[空集]]。則等化子仍為全個定義域<math>X</math>，因為條件的[[全稱量化]]命題為{{le|空真命題|vacuously true}}。

== 差核 ==

二元的等化子（即兩個函數的等化子）又稱'''差核'''（{{lang-en|difference kernel}}）。<math>f, g</math>的差核可以記為<math>\mathrm{DiffKer}(f, g)</math>、<math>\mathrm{Ker}(f, g)</math>、<math>\mathrm{Ker}(f - g)</math>。最後一種寫法表明名稱的由來，是兩個函數之差的[[核 (代数)|核]]，而且[[抽象代数]]中，該寫法亦最常用。此外，單一個函數<math>f</math>的核，可以作為差核<math>\mathrm {Eq}(f, \boldsymbol 0)</math>找到，其中<math>\boldsymbol 0</math>表示取[[0|零值]]的[[常數函數]]。

以上假設核的意義如同抽象代數中，解作某函數作用下，<math>0</math>的[[像 (數學)#原像|原像]]，但在[[範疇論]]定義中，並不一定。<!--英文有「However, the terminology "difference kernel" has no other meaning.」因語義不明而暫略-->

== 範疇論 ==

等化子可以用[[泛性質]]定義，以將此概念從[[集合範疇]]推廣到任意的[[範疇 (數學)|範疇]]。

一般地，在任意範疇中，設<math>X, Y</math>為物件，而<math>f, g</math>為自<math>X</math>往<math>Y</math>的[[態射]]。此兩件物件及兩個態射組成該範疇的一幅[[交换圖表|圖]]，而<math>f, g</math>的等化子，則是該圖表的[[极限 (范畴论)|極限]]。

具體而言，等化子是物件<math>E</math>與態射<math>\mathrm {eq}: E \to X</math>的整體，滿足<math>f \circ eq = g \circ eq</math>，且對任意物件<math>O</math>與態射<math>m : O \to X</math>，若有<math>f \circ m = g \circ m</math>，則存在[[唯一量化|唯一]]的態射<math> u : O \to E</math>，使得<math>\mathrm {eq} \circ u = m</math>。

<div style="text-align: center;">[[Image:Equalizer-01.svg|200px]]</div>

其中態射<math>m:O \rightarrow X</math>滿足的條件，即<math>f \circ m = g \circ m</math>，又稱為'''等化'''（{{lang-en|equalise}}）<math>f</math>與 <math>g</math>。<ref>{{cite book |last1=Barr |first1=Michael  |last2=Wells |first2=Charles |year=1998 |title=Category theory for computing science |trans-title = 電腦科學用的範疇論 |page=266 |url=http://www.math.mcgill.ca/triples/Barr-Wells-ctcs.pdf |access-date=2013-07-20 |format=PDF |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304031956/http://www.math.mcgill.ca/triples/Barr-Wells-ctcs.pdf |archive-date=2016-03-04 |url-status=dead |language = en}}</ref>

在[[泛代数]]範疇，例如有定義差核的範疇，或集合範疇<math>\mathbf{Set}</math>，物件<math>E</math>總可以按原始定義（即<math>\{x: f(x) = g(x)\}</math>）選取，而相應的態射<math>\mathrm {eq}</math>則是<math>E</math>作為<math>X</math>[[子集]]的[[包含映射]]。

可以直接推廣到多於兩支態射的情況，只要用在圖中，添加更多支態射，然後再取極限便可。同樣，只有一支態射的退化情況也很直接，而<math>\mathrm{eq}</math>可以取為任何由<math>E</math>至<math>X</math>的[[同構]]。

但是，無態射的退化情況較為特殊，要較仔細畫出正確的圖。一開始，可能會嘗試畫出物件<math>X</math>和<math>Y</math>，然後不加任何態射。然而，此為不正確，因為該圖的極限，是<math>X</math>和<math>Y</math>的[[积 (范畴论)|範疇論積]]，而非所求的等化子（應為<math>X</math>）。<!--英文此處有括號講product與equaliser不同，因較不容易混淆而省略-->正確觀念是，等化子的定義，與定義域<math>X</math>密切相關（例如在[[#定義|集合範疇]]的情況下，<math>X</math>出現在定義式中），但與<math>Y</math>的關聯則僅在於<math>Y</math>是圖中態射的[[陪域]]。 所以，若無態射，則<math>Y</math>不必出現，故圖僅有<math>X</math>。此圖的極限，是任何<math>E</math>與<math>X</math>間的同構。

可以證明，任意範疇中的等化子，皆為[[單態射]]。反之，若[[逆命題]]成立，即單態射皆為某兩支態射的等化子，則該範疇（在單態射意義下）稱為'''正則'''（{{lang-en|regular}}）。更一般地，任意範疇中，'''[[單態射|正則單態射]]'''是某族態射的等化子。也有作者更嚴格，要求其為某兩個態射的二元等化子。然而，若所考慮的範疇{{link-en|完備範疇|complete category|完備}}，則兩種定義一致。

範疇論中，也有差核的概念。術語「差核」在範疇論各處也常用作描述二元等化子。[[預可加範疇]]中（於{{link-en|阿貝爾群範疇|Category of abelian groups
}}上{{link-en|濃縮範疇|enriched category|濃縮}}的範疇，粗略而言，即每個態射集<math>\mathrm{Hom}(A, B)</math>皆具阿貝爾群結構），「差核」一詞能逐字理解，因為兩支（相同端點的）態射之差有定義，即<math>\mathrm{Eq}(f, g) = \mathrm{Ker}(f - g)</math>，其中<math>\mathrm{Ker}</math>表示{{link-en|核 (範疇論)|kernel (category theory)|範疇論核}}。

若範疇有[[拉回 (范畴论)|拉回]]（纖維積）及積，則有等化子。

== 參見 ==

*{{link-en|餘等化子|Coequalizer}}，等化子的{{link-en|對偶 (範疇論)|dual (category theory)|對偶}}概念，將定義中所有態射的方向反轉而得。
*{{link-en|重合理論|Coincidence theory}}，不動點理論的推廣，拓撲學中，研究[[拓撲空間]]等化子的理論。
*[[拉回 (范畴论)|拉回]]，可以用等化子和範疇論積構造的一類[[極限 (範疇論)|極限]]。

==參考文獻==
{{reflist}}

== 外部鏈結 ==
* {{nlab|id=equalizer|title=Equalizer}}

*[https://web.archive.org/web/20080916162345/http://www.j-paine.org/cgi-bin/webcats/webcats.php 一個互動網站]，給出有限集範疇中的等化子例子。由[https://web.archive.org/web/20081223001815/http://www.j-paine.org/ Jocelyn Paine]編寫。

{{範疇論}}

[[Category:集合論]]
[[Category:範疇中的極限]]