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在[[线性代数]]和[[矩阵论]]中，两个'''矩阵之间的等价'''是一种[[矩阵]]之间的[[等价关系]]。假设有两个<math>m \times n</math> 的矩阵，记作'''A'''和'''B'''。它们之间'''等价'''[[当且仅当]]存在两个[[可逆矩阵|可逆]]的[[方块矩阵]]：<math>n \times n</math> 的矩阵'''P'''以及<math>m \times m</math> 的矩阵'''Q'''，使得
<center><math>\mathbf{A} = \mathbf{QBP}</math></center>

这时称两个矩阵'''A'''和'''B'''是'''等价矩阵'''。矩阵之间的等价和矩阵的[[相似矩阵|相似关系]]有所不同。如果两个矩阵'''A'''和'''B'''相似，那么它们一定是等价矩阵，因为按照矩阵相似的定义，可以找到一个可逆矩阵'''P'''，使得
<center><math>\mathbf{A} = \mathbf{PB}\mathbf{P}^{-1}</math></center>

由于其中的'''P'''<sup>-1</sup>也是可逆的矩阵，所以'''A'''和'''B'''相似必然推出它们等价。但是，等价的矩阵不一定是相似的。首先相似的两个矩阵必须是大小相同的两个方块矩阵，而等价矩阵则没有这个要求。其次，即使两个等价矩阵都是同样大小的方阵，<math>\mathbf{A} = \mathbf{PBQ}</math> 中用到的'''Q'''也不一定是'''P'''的逆矩阵。

== 性质 ==
等价矩阵是矩阵集合<math>\mathcal{M}_{m,n}(\mathbf{R})</math>中的一种[[等价关系]]。

两个矩阵等价当且仅当：
* 其中一者能够经过若干次[[初等变换|初等行或列变换]]变成另一者。
* 它们有相同的[[矩阵的秩|秩]]。

==参见==
*[[相似矩阵]]
*[[合同矩阵]]
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[[Category:矩阵]]