查看“︁第一价格密封拍卖”︁的源代码

'''第一价格密封拍卖'''（{{lang-en|FPSBA}}）是[[拍卖]]的一个常见类型，属于盲拍（{{lang-en|blind auction}}）的一种<ref>{{Cite web |url=http://www.gametheory.net/dictionary/auctions/BlindAuction.html |title=Shor, Mikhael, "blind auction" Dictionary of Game Theory Terms |accessdate=2018-04-18 |archive-date=2019-09-17 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190917073356/http://www.gametheory.net/dictionary/auctions/BlindAuction.html |dead-url=no }}</ref>。所有竞拍者同时提交密封的出价，没有人知道其他人的出价。出价最高者将以他们出的价格获得拍卖品。<ref name=Krishna2002>{{Citation|last=Krishna|first=Vijay|title=Auction Theory|year=2002|publisher=Academic Press|location=San Diego, USA|isbn=0-12-426297-X|ref=Krishna2002}}</ref>{{rp|p2}}<ref name="McAfee">{{Citation| last =McAfee| first =Dinesh Satam| author-link =| last2 =McMillan| first2 =Dinesh| author2-link =| publication-date =June 1987| year =1987| title =Auctions and Bidding| periodical =Journal of Economic Literature| publisher =American Economic Association| volume =25| issue =2| pages =699–738| url =http://vita.mcafee.cc/PDF/JEL.pdf| accessdate =2008-06-25| doi =| doi-broken-date =2009-10-02| jstor =2726107| archive-date =2018-11-28| archive-url =https://web.archive.org/web/20181128041214/https://vita.mcafee.cc/PDF/JEL.pdf| dead-url =no}}</ref>

== 策略分析 ==
在FPSBA中，每个出价者对拍卖品的估价是影响其出价的重要因素。

假设Alice是一位竞拍者，她的估价是''a''。那么，如果Alice是理性的，就有以下结论：
* Alice不可能出大于''a''的价格，这样只会让她的净收益变为负数。
* 如果Alice的出价恰好为''a''，那么她的净收益必定为零。
* 如果Alice的出价小于''a''，她可能会获得正的净收益，但这取决于其他人是否出比她更高的价格。

Alice想要出一个能让她赢得拍卖品的最小价格，并且这个价格小于''a''。例如，如果有另一个竞拍者Bob，他的出价<math>y</math>满足<math>y<a</math>，那么Alice就会出价<math>y+\varepsilon</math>（其中<math>\varepsilon</math>是她最低可以加的价格，例如[[分 (貨幣)|1分钱]]）。

然而，Alice无从知晓其他竞拍者出的价，她更不知道其他人的估价如何。所以，这是一个[[贝叶斯博弈]]——每个参与者无法完全得知其他参与者的收益函数。

即使只有两位参与者，要求得这类博弈的[[纳什均衡]]也不容易。一个简化的情形是，所有参与者的估价是[[独立同分布]]的，即所有参与者的估价都满足同一个[[概率分布]]。<ref name=agt07>{{cite book
 | last1 = Vazirani | first1 = Vijay V. | author1-link = Vijay Vazirani
 | last2 = Nisan | first2 = Noam | author2-link = Noam Nisan
 | last3 = Roughgarden | first3 = Tim  | author3-link = Tim Roughgarden
 | last4 = Tardos | first4 = Éva | author4-link = Éva Tardos
 | isbn = 0-521-87282-0
 | location = Cambridge, UK
 | publisher = Cambridge University Press
 | title = Algorithmic Game Theory
 | url = http://www.cs.cmu.edu/~sandholm/cs15-892F13/algorithmic-game-theory.pdf
 | year = 2007
 | chapter = {{{chapter|}}}
}}
</ref>{{rp|234–236}}

=== 举例 ===
设两个竞拍者Alice和Bob的估价分别是''a''和''b''，且这两个值满足[0,1]上的[[连续型均匀分布]]。那么，这个贝叶斯博弈的纳什均衡为每个竞拍者都选择自己估价的一半：Alice出价<math>a/2</math>，Bob出价<math>b/2</math>。

证明：以下从Alice的角度讨论。假定她已知Bob的出价是<math>f(b) = b/2</math>，但她不知道<math>b</math>等于多少，我们来求Alice的最佳策略。假设Alice出价<math>x</math>，那么有两种情况：
* <math>x\geq f(b)</math>，此时Alice赢得拍卖品，净收益是<math>a-x</math>。这种情况发生的概率是<math>f^{-1}(x)=2x</math>。
* <math>x<f(b)</math>，此时Alice未赢得拍卖品，净收益为0。这种情况发生的概率是<math>1-f^{-1}(x)</math>。
因此，Alice的预期收益是<math>G(x) = f^{-1}(x)\cdot(a-x)</math>。当<math>G'(x)=0</math>时预期收益取到最大值，其中<math>G'(x)</math>为：
:<math>G'(x) = - f^{-1}(x) + (a-x)\cdot {1 \over f'(f^{-1}(x))}</math>
当Alice的出价<math>x</math>满足以下条件时导数为零：
:<math>f^{-1}(x) = (a-x)\cdot {1 \over f'(f^{-1}(x))}</math>
现在，因为纳什均衡显然是对称的，Alice的出价<math>x</math>也等于<math>f(a)</math>。于是有：
:<math>f^{-1}(f(a)) = (a-f(a))\cdot {1 \over f'(f^{-1}(f(a)))}</math>
:<math>a = (a-f(a))\cdot {1 \over f'(a)}</math>
:<math>a f'(a) = (a-f(a))</math>
解得<math>f(a) = a/2</math>。

=== 一般情形 ===
考虑所有的FPSBA。记：
* <math>v_i</math>为第<math>i</math>位竞拍者的估价；
* <math>y_i</math>为除第<math>i</math>位竞拍者以外的最大估价，即<math>y_i = \max_{j\neq i}{v_j}</math>。
FPSBA有一个对称纳什均衡，即第<math>i</math>位竞拍者出价<ref>{{cite web|year=2009|title=Networks Lectures 19-21:  Incomplete Information:  Bayesian Nash Equilibria, Auctions and Introduction to Social Learning|url=http://economics.mit.edu/files/4874|authors=Daron Acemoglu and Asu Ozdaglar|publisher=MIT|accessdate=8 October 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20161022044115/http://economics.mit.edu/files/4874|archive-date=2016-10-22|dead-url=yes}}</ref>{{rp|33–40}}：
:<math>E[y_i | y_i < v_i]</math>

== 与第二价格密封拍卖的比较 ==
下表列出了FPSBA和[[維克里拍賣|第二价格密封拍卖]]（SPSBA）的共同点和不同点：

{| class="wikitable"
|-
! 拍卖种类 !! 第一价格 !! 第二价格
|-
| 胜出方 || 出价最高者 || 出价最高者
|-
| 胜出方支出 || 出价最高的价格 || 出价第二高的价格
|-
| 未胜出方支出 || 0 || 0
|-
| [[支配性策略]] || 无 || 估价多少，出价多少<!--<ref>Hence a second-price auction is a [[truthful mechanism]].</ref>-->
|-
| 贝叶斯[[纳什均衡]]<ref name="uniform">假定有<math>n</math>位参与者，他们的估价均为[0,1]之间的独立均匀随机分布</ref>|| 第<math>i</math>位参与者出价<math>\frac{n-1}{n}v_i</math> || 第<math>i</math>位出价<math>v_i</math>
|-
| 拍卖商的收入<ref name=uniform/> || <math>\frac{n-1}{n+1}</math> || <math>\frac{n-1}{n+1}</math>
|}

拍卖商的收入是用上述样例计算的，其中每个参与者的估价独立均匀地随机分布在[0,1]中。不妨设<math>n=2</math>：
* 在第一价格密封拍卖中，拍卖商获得两人出价中较大者，即<math>\max(a/2,b/2)</math>。
* 在第二价格密封拍卖中，拍卖商获得两人估价中较小者，即<math>\min(a,b)</math>。
以上两种情况中，拍卖商的预期收入都是1/3。

两种拍卖的预期收入相同并不是一个巧合，而是因为它们是{{tsl|en|revenue equivalence||收益等价定理}}的特例，在每个参与者估价都[[独立 (概率论)|独立]]的情况下这条规则成立。如果估价不独立，则变为{{tsl|en|common value auction||共同价值拍卖}}，此时拍卖商在第二价格密封拍卖中的收入大于第一价格密封拍卖。

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 外部链接 ==
* [http://math.stackexchange.com/q/1173548/29780 Nash equilibrium in first price auction] - in math.stackexchange.com.

[[Category:拍卖]]