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{{微积分学}}
[[微积分学]]中，'''符号积分'''指找到给定[[函数]]''f''(''x'')的[[积分]]，即找到[[可微函数]]''F''(''x'')使

:<math>\frac{dF}{dx} = f(x).</math>

也可以表示为

:<math>F(x) = \int f(x) \, dx.</math>

==讨论==
“符号”问题异于[[数值积分|数值]]问题，后者求给定输入时的''F''，而非求''F''的一般公式。

早在数字计算机出现之前，人们就认为这两个问题都具有重要意义，但现在则一般认为属于[[计算机科学]]范畴，因为计算机目前最常用于求解个别特例。

求表达式的微分很简单，很容易构建[[算法]]；求积分则困难得多。许多相对简单的表达式的积分无法表示为[[解析解]]。参见[[不定积分]]与[[非初等积分]]。

有一种称为[[Risch算法]]的程序，能确定[[初等函数]]（由有限多[[指数函数|指数]]、[[对数]]、[[系数|常数]]、[[方根]]通过有限次[[复合函数|复合]]、4种[[算术|初等运算]]组成）的积分是否初等，如果是，则可以返回待求积分。Risch算法的最初形式并不适合直接实现，其完整运算需要很长时间。它最早是在ruduce中实现了纯超越函数，James H. Davenport在reduce中解决了纯代数函数，Manuel Bronstein解决了一般情况，并在Axiom中实现了几乎全部算法。不过迄今为止，还没有一种Risch算法程序能处理其中所有特例与分支。<ref>{{Cite web |last=Bronstein |first=Manuel |date=2003-09-05 |title=Manuel Bronstein on Axiom's Integration Capabilities |url=https://groups.google.com/g/sci.math.symbolic/c/YXlaU8WA2JI/m/1w1MxrSpm6IJ |access-date=2023-02-10 |website=groups.google.com |archive-date=2023-02-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230210121207/https://groups.google.com/g/sci.math.symbolic/c/YXlaU8WA2JI/m/1w1MxrSpm6IJ |dead-url=no }}</ref><ref>{{Cite web |date=2020-10-15 |title=integration - Does there exist a complete implementation of the Risch algorithm? |url=https://mathoverflow.net/questions/374089/does-there-exist-a-complete-implementation-of-the-risch-algorithm |access-date=2023-02-10 |website=MathOverflow |language=en |archive-date=2023-08-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230821064356/https://mathoverflow.net/questions/374089/does-there-exist-a-complete-implementation-of-the-risch-algorithm |dead-url=no }}</ref>

然而Risch算法只能用于不定积分，而物理学家、理论化学家和工程师更关注定积分 ，通常与[[拉普拉斯变换]]、[[傅里叶变换]]与[[梅林变换]]有关。由于缺乏通用算法，[[计算机代数系统]]的开发人员采用了基于模式匹配和特殊函数（尤其是[[不完全Γ函数]]）的[[启发式算法]]。<ref>[[Keith Geddes|K.O Geddes]], M.L. Glasser, R.A. Moore and T.C. Scott, ''Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions'', AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp. 149–165, [https://doi.org/10.1007%2FBF01810298]</ref>虽然这种方法是启发式，而非算法式，但仍是解决实际工程应用遇到的许多定积分的有效方法。诸如Macsyma的早起系统有些定积分与表中的特殊函数有关，但这种方法设计特殊函数及其参数的微分、变量变换、[[模式匹配]]及其他操作，由Maple开发者首创<ref>K.O. Geddes and T.C. Scott, ''Recipes for Classes of Definite Integrals Involving Exponentials and Logarithms'', Proceedings of the 1989 Computers and Mathematics conference, (held at MIT June 12, 1989), edited by E. Kaltofen and S.M. Watt, Springer-Verlag, New York, (1989), pp. 192–201. [http://portal.acm.org/citation.cfm?id=93094]</ref>，后来被[[Mathematica]]、Axiom、[[MuPAD]]等系统效仿。
==最新进展==
符号积分经典方法的主要问题在于，如果函数以[[解析解]]形式给出，那么其[[不定积分]]一般就没有类似的表示形式。也就是说，可以用解析解表示的函数在积分时不[[闭包 (数学)|闭包]]。

[[完整函数]]在不定积分时闭包，可在计算机中通过算法实现微积分的许多运算。

更确切地说，完整函数是具有多项式系数的同类[[线性微分方程]]。完整函数对加法与乘法、微分与积分封闭，其中包括[[代数函数]]、[[指数函数]]、[[对数]]、[[正弦和余弦]]、[[反三角函数]]、[[反双曲函数]]等，还包括最常见的特殊函数，如[[艾里函数]]、[[误差函数]]、[[贝塞尔函数]]及所有[[超几何函数]]。
完整函数由一个基本性质：其[[泰勒级数]]在任一点的系数都满足多项式系数线性[[递推关系式]]，这递推可从定义函数的微分方程计算得到。反之，给定[[幂级数]]系数之间的这种地推关系，也就定义了一个完整函数，其微分方程有算法计算。通过地推关系可以快速算出泰勒级数，从而计算出任一点的函数值，且误差极小。

这使得[[微积分学]]中的大多数运算在完整函数上都可以用微分方程及初始条件来表示，其中就包括积分，以及函数[[渐近分析|在无穷远处的极限]]、在无界区域上的定积分等等。

所有这些操作都可用[[Maple]]的algolib库实现。<ref>http://algo.inria.fr/libraries/ {{Wayback|url=http://algo.inria.fr/libraries/ |date=20130622014245 }} ''algolib''</ref>另见《Dynamic Dictionary of Mathematical functions》。<ref>http://ddmf.msr-inria.inria.fr {{Wayback|url=http://ddmf.msr-inria.inria.fr/ |date=20100706100051 }} ''Dynamic Dictionary of Mathematical functions''</ref>

== 例子 ==

例如：
:<math>\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C</math>

是不定积分的符号结果（C是[[积分常数]]），

:<math>\int_{-1}^1 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^1= \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3}=\frac{2}{3}</math>

是定积分的符号结果，而

:<math>\int_{-1}^1 x^2\,dx \approx 0.6667</math>

是同一定积分的数值结果。

==另见==
{{Portal|数学}}

* {{annotated link|积分}}
* {{annotated link|初等函数}}
* {{annotated link|不定积分}}
* {{annotated link|积分表}}
* {{annotated link|运算微积分}}
* {{annotated link|Risch算法}}
* {{annotated link|计算机代数}}
* {{annotated link|Meijer G-函数}}

== 参考文献 ==
<references/>
*{{Citation
 |last= Bronstein
 |first= Manuel
 |title= Symbolic Integration 1 (transcendental functions)
 |edition= 2
 |year= 1997
 |publisher= Springer-Verlag
 |isbn= 3-540-60521-5
 }}
*{{Citation
 |last= Moses
 |first= Joel
 |author-link= Joel Moses
 |title= Symbolic integration: the stormy decade
 |journal= Proceedings of the Second ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Manipulation
 |pages= 427&ndash;440
 |date= March 23–25, 1971
 |location= Los Angeles, California
 }}

== 外部链接 ==
* {{MathWorld|urlname=RischAlgorithm|title=Risch Algorithm|author=Bhatt, Bhuvanesh}}
* [https://web.archive.org/web/20080704114104/http://integrals.wolfram.com/ Wolfram Integrator] — Free online symbolic integration with [[Mathematica]]

[[Category:计算机代数]]
[[Category:微分代数]]