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{{dablink|“笛卡儿平方”重定向至此，关于范畴论中的笛卡儿方形，参见[[拉回 (范畴论)]]}}

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{{Unreferenced|time=2019-05-27T10:31:57+00:00}}
{{Expand language|1=en|time=2020-08-20T21:54:27+00:00}}
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[[File:Cartesian Product qtl1.svg|thumb|<math>A=\{x, y, z\}</math>與<math>B = \{1, 2, 3\}</math>的笛卡尔积]]
在[[数学]]中，两个[[集合 (数学)|集合]]<math>X</math>和<math>Y</math>的'''笛卡儿积'''（{{lang-en|'''Cartesian product'''}}），又称'''[[直积]]'''，在集合论中表示为<math>\,X \times Y</math>，是所有可能的[[有序对]]組成的集合，其中有序對的第一个对象是<math>\,X\,</math>的成员，第二个对象是<math>\,Y\,</math>的成员。

:<math>X \times Y = \left\{ \left( x,y \right) \mid x \in X \land y \in Y \right\}</math>。

舉個實例，如果集合<math>\,X\,</math>是13个元素的点数集合<math>\left \{ A,K,Q,J,10,9,8,7,6,5,4,3,2 \right \}</math>，而集合<math>\,Y\,</math>是4个元素的花色集合<math>\{</math>♠, ♥, ♦, ♣<math>\}</math>，则这两个集合的笛卡儿积是有52个元素的标准扑克牌的集合<math>\{(A,</math>♠<math>),(K,</math>♠<math>), ...,(2,</math>♠<math>),...,(A,</math>♣<math>),...,(3,</math>♣<math>),(2,</math>♣<math>)\}</math>。

笛卡儿积得名于[[笛卡儿]]，因為這概念是由他建立的[[解析几何]]引申出來。

== 笛卡儿积的性质 ==
易见笛卡儿积满足下列性质：
* 对于任意集合<math>A</math>，根据定义有<math>A \times \varnothing = \varnothing \times A = \varnothing</math>
* 一般来说笛卡儿积不满足[[交换律]]和[[结合律]]。
* 笛卡儿积对集合的[[并集|并]]和[[交集|交]]满足[[分配律]]，即
:<math>A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)</math>
:<math>(B \cup C) \times A = (B \times A) \cup (C \times A)</math>
:<math>A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)</math>
:<math>(B \cap C) \times A = (B \times A) \cap (C \times A)</math>
:<math>(A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)</math>
* 若一個集合<math>A</math>包含有無限多的元素，那這個集合對自身的笛卡爾積<math>A \times A</math>有和<math>A</math>一樣多的元素。

== 笛卡儿平方和n元乘积 ==
集合<math>X</math>的'''笛卡儿平方'''（或'''二元笛卡儿积'''）是笛卡儿积<math>X\times X</math>。一个例子是二维平面<math>R\times R</math>，（这里<math>R</math>是[[实数|实数集]]） - 它包含所有的点<math>(x,y)</math>，这里的<math>x</math>和<math>y</math>是实数（参见[[笛卡儿坐标系]]）。

为了幫助枚舉，可绘制一个表格。一个集合作为行而另一个集合作为列，从行和列的集合选择元素，以形成有序对作为表的单元格。

可以推广到在<math>n</math>个集合<math>X_1, ..., X_n</math>上的'''''n''-元笛卡儿积''':

:<math>\prod^n_{i=1} X_i := X_1\times\ldots\times X_n := \{(x_1, \ldots, x_n) \ | \ x_1\in X_1\;\land\;\ldots\;\land\;x_n\in X_n\}</math>。

实际上，它可以被等同为<math>\left ( X_1\times ...\times X_{n-1} \right )\times X_n</math>。它是[[多元组|''n''-元组]]的集合。

一个例子是[[欧几里得空间|欧几里得]]三维空间<math>R\times R\times R</math>，这里的'''<math>R</math>'''同樣是指实数集。

== 无穷乘积 ==
有限個集合可以看成某個[[单射|一對一]]的有限集合[[序列]] [[集合族|<math>x = {\{x(i)\}}^n_{i=1}</math>]]（因為[[序列]]是種以[[自然数|自然数系]] [[集合族|<math>\N</math>]] 為定義域的函數），而 [[集合族|<math>x</math>]] 的[[函数#定義域與值域|值域]]恰好是預備要依序進行笛卡儿积的所有集合，換句話說：
:<math>I_x = \{x(1),\,x(2),\,\dots,\,x(n)\} </math>
:<math>\{1,\,2,\,\dots,\,n\}
\,\overset{x}{\cong}\,
I_x</math>

這樣的話，若有[[函数]] [[集合族|<math>f:I \to \bigcup I_g</math>]] 滿足：

:<math>(\forall i \in I)[f(i) \in x(i)]
  </math>

那就等價於
:<math>(f(1),\,f(2),\,\dots,\,f(n)) \in \prod^{n}_{i =1}x(i)
  </math>

換句話說，[[函数]] [[集合族|<math>f</math>]] 可以看做 <math>\prod^{n}_{i =1}x(i)
  </math> 裡的一個[[多元组|''n''-元组]]，而這就是以下無窮乘積定義的直觀動機：

{{Math theorem
| name = 定義
| math_statement = 若 <math>I</math> 是[[集合族|集合族 <math>\mathcal{X}</math>]] 的指标集，換句話說有指標[[函数]] <math>x</math> 讓二者[[等势]]：
:<math>I\,\overset{x}{\cong} \,\mathcal{X}</math>

那以下的[[函数]]族

:<math>\prod_{x} \mathcal{X}
:= 
\left\{
f \,\bigg|\,
    \left(f:I \to \bigcup\mathcal{X}\right)
    \wedge
    (\forall i \in I)[f(i) \in x(i)]
\right\}   </math>

被稱為[[集合族]] <math>\mathcal{X}</math> 關於指标函數 <math>x</math> 的'''无穷乘积'''。

更進一步的，若此時取一 <math>j \in I</math> ，則以下定義的函數 <math>  \pi_{j} </math>
:<math>  \pi_{j} : \prod_{x} \mathcal{X} \to x(j) </math> ，<math>  \left(\forall f \in \prod_{x} \mathcal{X} \right)
[\pi_{j}(f) = f(j)]  </math>

被稱為'''第 <math>j</math> 投影映射'''。
}}

在无限情况，一個令人熟悉的特例是，當索引集合是[[自然数|自然数集]]<math>\mathbb N,</math>的时候：这正是其中第''i''项对应于集合''<math>X_i</math>''的所有无限序列的集合。再次，<math>\mathbb R</math>提供了这样的一个例子：

:<math>\prod_{n = 1}^\infty \mathbb R =\mathbb{R}^\omega= \mathbb R \times \mathbb R \times \ldots</math>

是实数的无限序列的[[类 (数学)|搜集]]，可視之为带有無限個构件的向量或元组。另一个特殊情况（上述例子也满足它）是在乘积中的各因子''X<sub>i</sub>''都是相同的时候，类似于“笛卡儿指数”。這樣，在最先定义中的[[并集#无限并集|无限并集]]自身就是这个集合自身，而其他条件被平凡的满足了，所以这正是从''I''到''X''的所有函数的集合。

在別的情況，无限笛卡儿积就不那麼直觀了；尽管在高等数学中的應用有其价值。

“非空集合的任意[[空集|非空]][[类 (数学)|搜集]]的笛卡儿积为非空”這一陳述等价于[[选择公理]]。

== 函数的笛卡儿积 ==
如果<math>f</math>是从<math>A</math>到<math>B</math>的函数，而<math>g</math>是从<math>X</math>到<math>Y</math>的函数，则它们的'''笛卡儿积'''<math>f\times g</math>是从<math>A\times X</math>到<math>B\times Y</math>的函数，带有
:<math>(f\times g)(a, x) = (f(a), g(x))</math>
跟之前類似，函数的笛卡儿积也可以扩展到函数的[[元组]]和无限情況。

== 参见 ==
* [[有序对]]
* [[幂集公理]]
* [[二元关系]]
* [[笛卡儿]]
* [[乘积拓扑]]
* [[乘积 (范畴论)]]
* [[拉回 (范畴论)]]

== 外部链接 ==
* [http://www.apronus.com/provenmath/cartesian.htm Cartesian Product at ProvenMath] {{Wayback|url=http://www.apronus.com/provenmath/cartesian.htm |date=20071011172441 }}
* {{springer|title=Direct product|id=p/d032730}}

{{集合论}}
[[Category:勒内·笛卡儿]]
[[Category:集合論基本概念|D]]
[[Category:二元運算|D]]