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'''笛卡尔叶形线'''是一个[[代数曲线]]，首先由[[笛卡儿]]在1638年提出。笛卡儿叶形线的隐式方程为： 

:<math>x^3 + y^3 - 3 a x y = 0. \,</math>

在[[极坐标]]中的方程为：

:<math>r = \frac{3 a \sin \theta \cos \theta}{\sin^3 \theta + \cos^3 \theta }.</math>

這個名字來自 [[拉丁文]] 的 ''folium'' ，意思是 "[[leaf]]"（葉子）。

== 曲线的特征 ==

=== 切线的方程 ===

利用隐函数的求导法则，我们可以求出y'：

:<math>\frac{dy}{dx} = \frac{a y - x^2}{y^2 - a x}.</math>

利用直线的点斜式方程，我们可以求出点<math>(x_1 , y_1)</math>处的切线方程：

:<math>y - y_1 = \frac{a y_1 - x_1^2}{y_1^2 - a x_1}(x - x_1).</math>

=== 水平和竖直切线 ===

当<math>a y - x^2 = 0</math>时，笛卡儿叶形线的切线是水平的。所以： 

:<math>x = a\sqrt[3]{2}.</math>

当<math>y^2 - a x = 0</math>时，笛卡儿叶形线的切线是竖直的。所以：

:<math>y = a\sqrt[3]{2}.</math>

这可以通过曲线的对称来解释。我们可以看到，曲线有两条水平切线和两条竖直切线。笛卡儿叶形线关于<math>y = x</math>对称，所以如果水平切线有坐标<math>(x_1,y_1)</math>的话，则一定有一个对应的竖直切线，坐标为<math>(y_1,x_1)</math>。

=== 渐近线 ===

曲线有一条[[渐近线]]：

:<math>x + y + a = 0.</math>

这个渐近线的[[斜率]]是-1，x截矩和y截矩都是-a。

== 参考文献 ==
* Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 218, 1987. 
* Gray, A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 77-82, 1997. 
* Lawrence, J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, pp. 106-109, 1972. 
* MacTutor History of Mathematics Archive. "Folium of Descartes." http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Foliumd.html {{Wayback|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Foliumd.html |date=20191025194306 }}. 
* Stroeker, R. J. "Brocard Points, Circulant Matrices, and Descartes' Folium." Math. Mag. 61, 172-187, 1988. 
* Yates, R. C. "Folium of Descartes." In A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 98-99, 1952. 

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