查看“︁空集”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
}}
'''空集合'''（{{lang-en|empty set}}）是不含任何元素的[[集合 (数学)|集合]]，數學符號為<math>\empty</math>、∅或{ }。

== 符号 ==
[[File:empty set symbol not phi.svg|thumb|130px|空集符號源自北歐拉丁字母，不是希臘字母。]]
空集的标准符号由[[尼古拉·布尔巴基]]小組创造，寫作{{UnicodeMath|∅}}（<math>\varnothing</math>），首先見於他們在1939年出版的《數學原本卷一：集合論》（{{lang|fr|Éléments de mathématique. Livre 1. Théorie des ensembles. Fascicule de résultats}}）。這符號也可写作<math>\emptyset</math>，有时候採用近似字符“{{sans-serif|[[Ø]]}}”，也可以使用[[大括號]]<math>\{\;\}</math>表示。

这符号源自北欧语言的[[丹麥語和挪威語字母|拉丁字母]]「{{sans-serif|[[Ø]]}}」，但常被誤會為[[希腊字母]]“{{lang|el|[[φ]]}}”。（{{lang|el|[[φ]]}}有兩個寫法：小寫的<math>\varphi</math>和縮小了的大寫<math>\phi\,</math>，後者常被誤用為空集符號。<math>\phi\,</math>的中間为一長豎，中間的圈也較小，與<math>\varnothing</math>的斜線和大圓不同。）。

提出用北歐字母為符號的，是布爾巴基小組成員[[安德烈·韦伊]]。他在自傳寫道：
{{cquote
|
:{{lang|fr|J'étais personnellement responsable de l'adoption du symbole Ø pour l'ensemble vide, ... Le Ø appartenait à l'alphabet norvégien, et j'étais seul dans Bourbaki à le connaître. }}<ref>{{lang|fr|André Weil: ''Souvenirs d'apprentissage'', Birkhäuser Verlag, Basel, 1991, p. 119. ISBN 978-3-7643-2500-8}}</ref>

:採用<math>\varnothing</math>符號表示空集，是我個人的責任，……<math>\varnothing</math>屬於[[挪威語]]的字母，在布爾巴基中只有我懂得。
}}
空集符號∅的Unicode編碼為U+2205，[[TeX]]代碼是<code>\emptyset</code>或<code>\varnothing</code>（後者是AMS符號，很多人較喜歡後者的字形<ref>{{cite web|title=The Comprehensive LaTeX Symbol List|url=http://www.tex.ac.uk/tex-archive/info/symbols/comprehensive/symbols-a4.pdf|accessdate=2014-09-16|author=Scott Pakin|date=2009-11-09|pages=p. 65|archiveurl=https://web.archive.org/web/20150328051921/http://www.tex.ac.uk/tex-archive/info/symbols/comprehensive/symbols-a4.pdf|archivedate=2015-03-28|deadurl=yes}}</ref>）。

== 性质 ==
（这里采用[[数学符号表|数学符号]]）。

*对任意集合<math>A</math>，空集是<math>A</math>的[[子集]]；
*:<math>\forall A:\varnothing \subseteq A</math>
* 对任意集合<math>A</math>，空集和<math>A</math>的[[并集]]为<math>A</math>：
*:<math>\forall A:A\cup \varnothing =A</math>
* 对任意集合<math>A</math>，空集和<math>A</math>的[[交集]]为空集：
*:<math>\forall A:A\cap \varnothing =\varnothing</math>
* 对任意集合<math>A</math>，空集和<math>A</math>的[[笛卡尔积]]为空集：
*:<math>\forall A:A\times \varnothing =\varnothing</math>
* 空集的唯一子集是空集本身：
*:<math>\forall A:A\subseteq \varnothing \Rightarrow A=\varnothing</math>
* 空集的[[冪集]]是僅包含空集的集合：
*:<math>2^\varnothing =\left \{ \varnothing \right \}</math>
* 空集的元素个数（即它的[[基數 (數學)|势]]）为[[零]]；特別是，空集是[[有限集合|有限]]的：
*:<math>\mathrm{card}\left ( \varnothing \right )=0</math>

[[集合论]]中，两个集合相等，若它们有相同的元素；那么仅可能有一个集合是没有元素的，即空集是唯一的。

考慮空集為[[实数线]]（或任意[[拓扑空间]]）的子集，空集既是[[开集]]、又是[[闭集]]。空集的[[边界点]]集合是空集，是它的子集，因此空集是闭集。空集的[[内点]]集合也是空集，是它的子集，因此空集是开集。另外，空集是[[紧致集合]]，因为凡[[有限集合]]都是紧致的。

空集的[[闭包 (数学)|闭包]]是空集。

== 空集和0 ==
根据定义，空集有0个元素，或者称其势为0。然而，这两者的关系可能更进一步：在标准的[[自然数#定义|自然数的集合论定义]]中，0被定义为空集。

== 常见问题 ==
空集不是「无」；它是「内部」没有元素的集合，但這個集合是「存在」的，即「有」這個集合。这通常是初学者的一个难点。可以将集合想象成一个装有其元素的袋子──袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的。

有些人会想不通上述第一条性质，即空集是任意集合<math>A</math>的子集。按照[[子集]]的定义，这条性质是说<math>\left \{  \right \}</math>的每个元素''x''都属于<math>A</math>。若这条性质不为[[真]]，那{{math|<nowiki>{}</nowiki>}}中至少有一个元素不在<math>A</math>中。由于<math>\left \{  \right \}</math>中没有元素，也就没有<math>\left \{  \right \}</math>的元素不属于<math>A</math>了，得到<math>\left \{  \right \}</math>的每个元素都属于<math>A</math>，即<math>\left \{  \right \}</math>是<math>A</math>的子集。

== 空集的运算 ==
空集（作为集合）上的运算也可能使人迷惑。（这是一种「[[空]]运算」。）
例如：空集元素的[[加法|和]]为[[0]]（「[[空和]]」），而它们的[[乘法|积]]为[[1]]（见[[空积]]）。这可能看上去非常奇怪，空集中没有元素，他们是怎么相加和相乘的呢？
最终，这些运算的结果更多被看成是运算的问题，而不是空集的。比如，可以注意到0是加法的[[单位元]]，而1是乘法的单位元。

== 公理化集合论 ==
在诸如[[策梅洛-弗兰克尔集合论]]的[[公理化集合论]]中，空集的存在性是由[[空集公理]]确定的。空集的唯一性由[[外延公理]]得出。

使用[[分類公理]]，任何陈述集合存在性的公理将隐含空集公理。例如：若<math>A</math>是集合，则分离公理允许构造集合<math>B=\left \{ x\in A|x\neq x \right \}</math>，它就可以被定义为空集。

== 范畴论 ==
若{{math|''A''}}为集合，则[[有且仅有|恰好存在]]一個从<math>\left \{  \right \}</math>到<math>A</math>的[[函数 (数学)|函数]]<math>f</math>，即[[空函数]]。故此，空集是集合和函数的[[范畴论 (数学)|范畴]]的唯一[[初始对象]]。

空集只能通过一种方式转变为[[拓扑空间]]，即通过定义空集为开集；这个空拓扑空间是有[[连续]]映射的拓扑空间的范畴的唯一初始对象。

== 哲學層面 ==
尽管空集在数学中是一个标准，并被广泛接受，仍然有人对它表示怀疑。

{{lang|en|[[Jonathan Lowe]]}}认为，这一概念「无疑是数学历史上的里程碑，……；不需要假设其在计算时的有效性要基于其确实表达了某些对象」，但在另一方面，「我们所知的空集只是它 (1)是个集合，(2)没有元素，(3)在没有元素的集合中唯一。然而，有很多东西『没有元素』，在集合论角度而言，叫做非集合。为什么它们没有元素是显而易见的，因为它们不是集合。不清楚的是，为什么在集合中，没有元素的集合是唯一的。仅仅通过约束是不可能将这么一个实体变出来的。」<ref name="Lowe">{{cite book|title=Locke|author=E. J. Lowe|publisher=Routledge|year=2005|page=87}}</ref>

在{{lang|en|"To be is to be the value of a variable…"}}，{{lang|en|[[哲学类杂志|Journal of Philosophy]]}}，1984（在书''{{lang|en|Logic, Logic and Logic}}''中再次发表）中，小{{lang|en|[[George Boolos]]}}认为許多集合論中的結論，也可以透過對个体进行{{tsl|en|Plural quantification|复数量化}}來得到，所以無需把集合[[具体化]]為包含其他实体作为元素的实体。<ref>[[George Boolos]], 1984, "To be is to be the value of a variable," ''The Journal of Philosophy'' 91: 430–49. Reprinted in his 1998 ''Logic, Logic and Logic'' ([[Richard Jeffrey]], and Burgess, J., eds.) Harvard Univ. Press: 54–72.</ref>

== 參考資料 ==
{{Reflist}}
{{集合论}}
[[Category:集合論基本概念|K]]
[[Category:零|K]]