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[[Image:Peanocurve.svg|400px|thumb|迭代前3次的[[皮亚诺曲线]]，其极限为空间填充曲线。]]
[[数学分析]]中，'''空间填充曲线'''是[[值域]]覆盖了高维空间每一点的[[曲线]]，通常是[[单位正方形]]（或更一般的''n''维单位[[超方形]]）。由于[[朱塞佩·皮亚诺]]（1858–1932）首先发现了空间填充曲线，因此二维平面上的空间填充曲线有时也称为皮亚诺曲线。这个术语也可以指皮亚诺发现的具体的[[皮亚诺曲线|曲线例子]]。

与之密切相关的'''FASS曲线'''（近似空间填充、自避、简单、自相似曲线）可看作是某类空间填充曲线的有限近似。<ref>
Przemyslaw Prusinkiewicz and Aristid Lindenmayer.
[https://books.google.com/books?id=4F7lBwAAQBAJ "The Algorithmic Beauty of Plants"].
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</ref><ref>Przemyslaw Prusinkiewicz; Aristid Lindenmayer; F. David Fracchia.
[http://algorithmicbotany.org/papers/fass.html "Synthesis of Space-Filling Curves on the Square Grid"] {{Wayback|url=http://algorithmicbotany.org/papers/fass.html |date=20230725030433 }}.
1989.</ref><ref>[https://tilings.math.uni-bielefeld.de/glossary/FASS-curve/ "FASS-curve"] {{Wayback|url=https://tilings.math.uni-bielefeld.de/glossary/FASS-curve/ |date=20230610205330 }}.
D. Frettlöh, E. Harriss, F. Gähler: Tilings encyclopedia, https://tilings.math.uni-bielefeld.de/ {{Wayback|url=https://tilings.math.uni-bielefeld.de/ |date=20230912065328 }}</ref>

== 定义 ==
直观地说，多维曲线可看作是连续运动点的轨迹。为消除这样定义的模糊性，[[卡米尔·若尔当]]于1887年提出了以下的严格定义，后来一直是曲线的精确定义：

{{block indent|（有端点的）曲线是定义域为[[单位区间]]{{nowrap|[0, 1]}}的[[连续函数]]。}}

在最一般的形式中，这种函数的值域可能位于任意[[拓扑空间]]；但在最常研究的形式中，其将位于[[欧几里得空间]]，如2维平面（平面曲线）或3维空间（空间曲线）。

有时曲线是函数的[[像 (数学)|像]]（函数所有可能取值的集合），而非函数本身。也可以把没有端点的曲线定义为[[数线]]上的连续函数（或位于单位开区间{{nowrap|(0, 1)}}）。

==历史==
1890年，[[朱塞佩·皮亚诺]]发现了[[皮亚诺曲线]]，它可以经过单位正方形的每一点。{{sfn|Peano|1890}}[[格奥尔格·康托尔]]之前提出了一个反直觉的结论：单位区间中的无限多点与任意有限维[[流形]]的无限多点等[[势 (数学)|势]]。皮亚诺受到他的启发，试图构造一个从[[单位区间]]到[[单位正方形]]的[[连续函数]]。皮亚诺证明，这样的映射可以是连续的，即一条能填充高维空间的曲线。不过，他没有在单位区间和单位正方形之间建立连续[[双射]]，事实上也不可能建立。

人们通常会把“薄”和“1维”这两个模糊的概念同曲线联系起来；所有通常遇到的曲线也确实[[分段]]可微（即有分段连续导数），而这样的曲线不能填满单位正方形。因此，皮亚诺的空间填充曲线非常反直觉。

从皮亚诺的例子中，很容易推导出其范围包含n维[[超方形]]的连续曲线。将皮亚诺的例子扩展到无端点连续曲线也很容易，可以填充整个n维欧几里得空间I（n均为自然数）。

大多数知名的空间填充曲线都是[[分段线性函数]]的迭代序列极限。

皮亚诺的开创性文章没有说明他的构造，其是用[[三进制]]和镜像运算定义的。但他对图形构造非常清楚——他在都灵的家中制作了一块瓷砖，纹样便是皮亚诺曲线。皮亚诺的文章最后还指出，除了三进制以外，这种技术还可以扩展到其他奇数进制。他回避了任何[[无字证明]]的请求，因为他希望有一个完全严谨的证明，而不需要任何图。当时的一般拓扑尚处于起步阶段，图形化的无字证明尚被学界所接受，但并不利于理解反直觉结论。

一年后，[[大卫·希尔伯特]]在同一刊物上发表了皮亚诺构造的变体。{{sfn|Hilbert|1891}}希尔伯特的文章包含了图形证明，帮助读者直观了解构造方法，与此处的图基本相同。然而[[希尔伯特曲线]]的解析形式比皮亚诺更复杂。

[[File:Hilbert curve.svg|400px|thumb|6次迭代的希尔伯特曲线。]]

== 空间填充曲线构造概要 ==
令<math>\mathcal{C}</math>表示[[康托尔空间]]<math>\mathbf{2}^\mathbb{N}</math>。

我们从康托尔空间<math>\mathcal{C}</math>到整个单位区间<math>[0,\, 1]</math>的连续函数<math>h</math>开始（[[康托尔函数]]对[[康托尔集]]的约束就符合）。由此，可以得到从拓扑积<math>\mathcal{C} \;\times\; \mathcal{C}</math>到整个单位正方形<math>[0,\, 1] \;\times\; [0,\, 1]</math>的连续函数<math>H</math>，方法是令

<math display="block">H(x,y) = (h(x), h(y)). \, </math>

由于康托尔集与积<math>\mathcal{C} \times \mathcal{C}</math>[[同胚]]，因此存在从康托尔集到<math>\mathcal{C} \;\times\; \mathcal{C}</math>的连续双射<math>g</math>。<math>H</math>、<math>g</math>组合为<math>f</math>，是将康托尔集映射到整个单位正方形上的连续函数（也可以利用每个[[紧空间|紧]]度量空间都是康托尔集的连续像，得到函数<math>f</math>）。

最后，可以把<math>f</math>扩展为连续函数<math>F</math>，其定义域为单位区间<math>[0,\, 1]</math>。要实现这一点，可以在<math>f</math>的组分上使用[[蒂茨扩张定理]]，或简单地“线性”扩展<math>f</math>（即在构造康托尔集时删除的每个开区间<math>(a,\, b)</math>上，定义<math>F</math>的扩展为单位正方形内连接<math>f(a)</math>、<math>f(b)</math>的线段）。

== 性质 ==
[[File:ComparingSFCurves-MortonHilbert1024.png|thumb|520px|迭代6次的[[Z阶曲线]]和[[希尔伯特曲线]]（[[递归 (计算机科学)|递归]]正方形分割中的4<sup>5</sup>=1024各单元），以[[RGB]]绘制每处的不同颜色，并使用Geohash标签。相邻的点有相似的颜色，不同曲线在小范围内提供了不同的分组模式。]]

非单射曲线上有两条相交子曲线，每条都从曲线定义域（单位线段）中两个不相交线段的像得到。若两条子曲线的交点非空，则相交。人们可能认为，曲线相交的意义在于必然相互交叉，就像两条不平行直线的交点。不过，两条曲线（或一条曲线的两条子曲线）可以相互接触而不相交，例如与圆相切的直线。

不自交连续曲线不能填充单位正方形，因为这会使曲线成为单位区间到单位正方形的[[同胚]]（任何[[紧空间]]到[[豪斯多夫空间]]的连续[[双射]]都是同胚）。但单位正方形没有[[切割点]]，因此与单位区间不同胚，因为单位区间除端点之外都是切割点。存在面积不为零的不自交曲线，例如[[奥斯古德曲线]]，但由[[内托定理]]，它们不是空间填充曲线。{{sfn|Sagan|1994|p=131}}

对于经典皮亚诺和希尔伯特空间填充曲线，在两条子曲线相交处，实际上有接触而无交叉。空间填充曲线的近似曲线若自交叉，那么将（处处）自交叉；空间填充曲线的近似也可以自避，如上图所示。3维空间中，自避近似曲线甚至可以包含[[纽结理论|扭结]]。近似曲线会保持在n维空间的有界部分内，但长度可以无限增加。

空间填充曲线是[[分形曲线]]的特例。不存在可微的空间填充曲线。粗略地说，可微限制了曲线转弯的速度。Michał Morayne证明，[[连续统假设]]等同于存在这样的皮亚诺曲线：在实数轴的每一点上，至少有一个组分可微。<ref>{{Cite journal |last=Morayne |first=Michał |date=1987 |title=On differentiability of Peano type functions |url=https://eudml.org/doc/264945 |journal=Colloquium Mathematicum |volume=53 |issue=1 |pages=129–132 |doi=10.4064/cm-53-1-129-132 |issn=0010-1354 |doi-access=free |access-date=2023-09-17 |archive-date=2022-08-24 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220824022622/https://eudml.org/doc/264945 |dead-url=no }}</ref>

== 哈恩–马祖尔克维奇定理==
[[汉斯·哈恩|哈恩]]–[[史蒂芬·马祖尔克维奇|马祖尔克维奇]]定理是对曲线连续像的空间性质的描述：

{{block indent|非空[[豪斯多夫空间|豪斯多夫]]拓扑空间是单位区间上的连续像，当且仅当其是紧[[连通空间|连通]]的[[局部连通空间|局部连通]][[第二可数空间]]。}}

单位区间的连续像有时也被称为皮亚诺空间。

在哈恩-马祖尔克维奇定理的许多表述中，“第二可数”等同于“可测”。在一个方向上，紧豪斯多夫空间就是[[正规空间]]；由[[乌雷松度量化定理]]，第二可数意味着可测。反过来说，紧度量空间是第二可数空间。

==克莱因群==
在双重退化[[克莱因群]]理论中，有许多空间填充的自然例子。例如{{harvtxt|Cannon|Thurston|2007}}指出，[[伪阿诺索夫映射]][[映射环|环]]纤维的[[覆疊空間#萬有覆疊空間|万有覆叠空间]]在无穷远处的圆是球面填充曲线（此处球面是[[双曲空间|双曲3空间]]的无穷远球面）。

==积分==
[[诺伯特·维纳]]在《傅里叶积分及其部分应用》中指出，空间填充曲线可将高维[[勒贝格积分]]简化为一维勒贝格积分。

==另见==
{{Div col}}
* [[龙形曲线]]
* [[高斯帕曲线]]
* [[希尔伯特曲线]]
* [[科赫曲线]]
* [[摩尔曲线]]
* [[皮亚诺曲线]]
* [[谢尔宾斯基曲线]]
* [[空间填充树]]
* [[希尔伯特R树]]
* [[Bx树]]
* [[Z阶曲线]]
* [[以豪斯多夫维度排序的分形列表]]
{{Div col end}}

==注释==
{{reflist}}

==参考文献==
* {{Citation | last1=Cannon | first1=James W. | last2=Thurston | first2=William P. | author2-link=William Thurston | title=Group invariant Peano curves | orig-year=1982 | doi=10.2140/gt.2007.11.1315 | mr=2326947 | year=2007 | journal=Geometry & Topology | issn=1465-3060 | volume=11 | issue=3 | pages=1315–1355| doi-access=free }}
* {{citation|first=D.|last=Hilbert|author-link=David Hilbert|url=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002253135|title=Ueber die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück|journal=Mathematische Annalen|volume=38|issue=3|year=1891|pages=459–460|doi=10.1007/BF01199431|s2cid=123643081|language=de|accessdate=2023-09-17|archive-date=2021-12-31|archive-url=https://web.archive.org/web/20211231121301/http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002253135|dead-url=no}}
* {{citation|first=B. B.|last=Mandelbrot|author-link=Benoît Mandelbrot|title=The Fractal Geometry of Nature|contribution=Ch. 7: Harnessing the Peano Monster Curves|publisher=W. H. Freeman|year=1982}}.
* {{citation|first=Douglas M.|last=McKenna|contribution=SquaRecurves, E-Tours, Eddies, and Frenzies: Basic Families of Peano Curves on the Square Grid|title=The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugene Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History|publisher=[[Mathematical Association of America]]|year=1994|pages=[https://archive.org/details/lightersideofmat0000unse/page/49 49–73]|editor1-first=Richard K.|editor1-last=Guy|editor1-link=Richard K. Guy|editor2-first=Robert E.|editor2-last=Woodrow|isbn=978-0-88385-516-4|url=https://archive.org/details/lightersideofmat0000unse/page/49}}.
* {{citation|first=G.|last=Peano|author-link=Giuseppe Peano|url=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002252376|title=Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane|journal=[[Mathematische Annalen]]|volume=36|issue=1|year=1890|pages=157–160|doi=10.1007/BF01199438|s2cid=179177780|language=fr|accessdate=2023-09-17|archive-date=2021-12-31|archive-url=https://web.archive.org/web/20211231121317/http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002252376|dead-url=no}}.
* {{citation|first=Hans|last=Sagan|title=Space-Filling Curves|series=Universitext|publisher=Springer-Verlag|year=1994|isbn=0-387-94265-3|mr=1299533|doi=10.1007/978-1-4612-0871-6}}.

==外部链接==
* [http://people.csail.mit.edu/jaffer/Geometry/MDSFC Multidimensional Space-Filling Curves] {{Wayback|url=http://people.csail.mit.edu/jaffer/Geometry/MDSFC |date=20230323043221 }}
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/hilbert.shtml Proof of the existence of a bijection] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/hilbert.shtml |date=20230518172506 }} at [[cut-the-knot]]

Java applets:
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Peano.shtml Peano Plane Filling Curves] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Peano.shtml |date=20230610121251 }} at cut-the-knot
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PlaneFillingCurves.shtml Hilbert's and Moore's Plane Filling Curves] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PlaneFillingCurves.shtml |date=20230330083106 }} at cut-the-knot
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PeanoComplete.shtml All Peano Plane Filling Curves] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PeanoComplete.shtml |date=20230327210402 }} at cut-the-knot

{{分形}}

[[Category:连续映射]]
[[Category:分形曲线]]