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[[File:Tetrahedral group 2.svg|thumb|right|300px|[[正四面體]]可以只由[[旋轉]]而有12種不同的方位。上圖以[[循環圖]]來表示此12種方位，其為將正四面體旋轉180度（藍箭頭）和120度（紅箭頭）來[[置換]]正四面體的方向。此12種的旋轉可形成一正四面體的'''旋轉（對稱）群'''。]]

一個物件（如一維、二維或三維中的[[圖像]]或[[信號 (資訊理論)|信號]]）的'''對稱群'''是指在[[複合函數]]運算下不變的所有[[等距同構]]所構成的[[群]]。其為所考慮之空間的[[等距同构|等距同構群]]中的一個[[子群]]。

（若沒有另外注明，則本文只考慮在[[歐幾里得空間]]內的對稱群，但此一概念亦可以被應用在更廣義的用途上，詳見下文。）

「物件」可以是幾何形狀、圖像及模式，如{{tsl|en|Wallpaper group|壁紙群|壁紙圖樣}}。其定義能夠以詳述圖像或模式的方式，如將位置附上一組顏色的值的函數，來使其更為精確。對如三維物體的對稱，可能亦會想要考量其物理上可能的組合。空間中等距同構的群可以產生一個作用於此群本身物件上的[[群作用]]。

對稱群有時亦稱為'''全對稱群'''，以強調其會產生一個圖像不會改變的反轉定位之等距同構（如鏡射、{{tsl|en|Glide reflection|滑移鏡射}}和[[瑕旋轉|不純旋轉]]）。會保留其定位之同距同構（如平移、旋轉和此兩者的組合）的[[子群]]則稱為其'''純對稱群'''。一物件的純對稱群若等同於其全對稱群，則稱此物件為[[對掌性|對掌]]的（也因此不存在使其不變的反轉[[定位 (數學)|定位]]之等距同構。)

任何其元素有著相同個[[不動點]]的對稱群都可以由選定其原點為不動點來被表示成一個[[正交群]]O(n)的[[子群]]，其對所有的有限對稱群及有界圖像之對稱群皆為真的。

[[離散群|離散]]對稱群可以分成三種類型：
#有限'''[[點群]]'''，其包含有旋轉、鏡射、反演和不純旋轉，且實際上只是正交群O(n)的子群；
#無限'''{{tsl|en|Lattice (group)|晶格 (群論)|晶格}}群'''，其包括平移；
#無限'''[[空間群]]'''，其結合有上述兩種類型的元素，且亦包含有如{{tsl|en|screw axis|螺旋軸}}和{{tsl|en|Glide reflection|滑移鏡射}}等額外的對稱。
另外亦有著包含任意小角度的旋轉或任意小距離的平移之「連續」對稱群。一個球面[[正交群|O(3)]]的所有對稱所組成的群即是一種連續對稱群，而通常如此類的[[連續對稱]]的群是在[[李群]]中所研究的對象。
對[[歐幾里得群#子群|歐幾里得群子群的分類]]會對應到對稱群的分類。

兩個幾何形狀被認為是有著相同的對稱型，若其對稱群為[[歐幾里得群]]''E''(''n'')（R<sup>n</sup>的等距同構群）的共軛群，其中一個群''G''的兩個子群''H''<sub>1</sub>和''H''<sub>2</sub>為[[共軛類#子群和一般子集的共軛|共軛]]的，若存在一''G''內的元素''g''能使得''H''<sub>1</sub>=g<sup>-1</sup>''H''<sub>2</sub>''g''。例如：
*兩個三維圖形有著鏡面對稱，但對應著不同的鏡面。
*兩個三維圖形有著旋轉對稱，但對應著不同的旋轉軸。
*兩個二維圖形有著平移對稱，各在各的方面；此兩者有著長度相同但方向不同的平移向量。

有時，「相同對稱型」更廣義的概念會被使用，而可以產生如17個壁紙群之類的類型。

當考慮等距同構群時，可以將其縮限在於等距同構下之圖像的點皆為[[閉集|拓撲閉合]]的。如此便排除了如一維中以有理數之距離平移所構成的群。一個具有對稱群的「圖像」是不可伸縮的，且即使達到任意詳盡的均勻，亦不會有真正的均勻。

==一維==
其在等同構下之圖像的點皆為[[閉集|拓撲閉合]]之一維等距同構群有：
*當然群''C''<sub>1</sub>
*由一點之鏡射所產生之元素所組成的群；其同構於''C''<sub>2</sub>
*由平移所產生之無限離散群：其同構於'''Z'''
*由平移和一點的鏡射所產生之無限離散群：其同構於'''Z'''的[[二面體群#廣義化|廣義二面體群]]Dih('''Z''')，亦被標記為D<sub>&infin;</sub>（其為'''Z'''與C<sub>2</sub>的[[半直積]]）。
*由所有平移（同構於'''R'''）所產生的群；這個群不能是某一「圖像」的對稱群：它會是均勻的，因此亦能被鏡面。但一個均勻一維向量場則可以有這種對稱群。
*由所以平移和一點之鏡射所組成的群：其同構於'''R'''的[[二面體群#廣義化|廣義二面體群]]Dih('''R''')。

另見{{tsl|en|symmetry groups in one dimension|一維對稱群}}。

==二維==

以共軛來分，二維離散點群可以分成下列幾種類型：
*''C''<sub>1</sub>、''C''<sub>2</sub>、''C''<sub>3</sub>、''C''<sub>4</sub>、…等[[循環群]]，其中''C<sub>n</sub>''包含著所有繞一固定點為360/''n''度的整倍數之旋轉。
*''D''<sub>1</sub>、''D''<sub>2</sub>、''D''<sub>3</sub>、''D''<sub>4</sub>、…等[[二面體群]]，其中''D<sub>n</sub>''包含著所有在''C<sub>n</sub>''中的旋轉和''n''個通過其固定點之軸的鏡射。

''C''<sub>1</sub>是一個只包含有恆等運算的當然群，其產生於一圖像沒有任何的對稱時，如字母'''F'''。''C''<sub>2</sub>為字母'''Z'''的對稱群，''C''<sub>3</sub>為[[三曲腿圖]]的，''C''<sub>4</sub>為[[卐]]的，而''C''<sub>5</sub>、''C''<sub>6</sub>則為有五條及六條臂之類卐圖像。

''D''<sub>1</sub>為一個含有恆等運算和單一個鏡射之兩個元素的群，其產生於一儘有一對稱軸的圖像中，如字母'''A'''。''D''<sub>2</sub>（同構於[[克萊因四元群]]）為一非等邊長方形的對稱群，而''D''<sub>3</sub>、''D''<sub>4</sub>則為[[正多邊形]]的對稱群。

兩種類型的實際對稱群對其旋轉中心都有著兩個[[自由度 (物理学)|自由度]]，而在二面體群中，多著一個鏡面方位的自由度。

剩餘具有不動點之二維等距同構群，其所有在等距同構下之圖像的點皆為拓撲閉合的有：
*特殊[[正交群]]SO(2)，其包括繞著一固定點的所有旋轉；其亦稱為[[圓群]]S<sup>1</sup>，為[[絕對值]]為1之[[复数 (数学)|複數]]所組成的乘法群。其為圓的「純」對稱群，且為''C''<sub>''n''</sub>在連續群中的等價。不存在一以圓群為「全」對稱群之圖像，但對於一向量場則存在著（見三維中的例子）。
*正交群O(2)，其包括所有繞一固定點的旋轉及對通過其固定點之軸的鏡射。這是一個圓的對稱群。其亦被可標記為Dih(S<sup>1</sup>)，因其為S<sup>1</sup>的[[二面體群|廣義二面體群]]。

對於無界圖像，其他的等距同構群還包括平移；其閉合對稱群有：
*7個{{tsl|en|frieze group|帶狀群|彩帶群}}
*17個{{tsl|en|Wallpaper group|壁紙群}}
*對每一個一維對稱群，其於一方向上之群的所有對稱及在其垂直方向上之所有平移的群所組成之對稱群
*同上，但再加上第一個方向的鏡射

==三維==

以共軛來分，其三維點群的集合包括7種包含無限多個群的類型和剩下的7個點群。在晶格學中，其被侷限在需符合晶格的離散平移對稱中。一般無限個點群中的[[晶体学限制定理|晶體侷限]]可以找出32種晶體點群（27種在7種類型中，5種在另7個點群中）。

見'''[[三維點群]]'''。

具一固定點的連續對稱群包括如下：
*沒有垂直其軸之對稱面的圓柱對稱，這出現在如[[瓶子]]等物之上頭
*有垂直其軸之對稱面的圓柱對稱
*球面對稱

對物件和[[純量場]]而言，圓柱對稱意指其有著直立鏡射面。但對[[向量場]]則不然：在相對於某一軸的[[圓柱座標]]中，
<math>\mathbf{A} = A_\rho\boldsymbol{\hat \rho} + A_\phi\boldsymbol{\hat \phi} + A_z\boldsymbol{\hat z}</math>
有相對於此一軸的圓柱對稱[[若且唯若]]<math>A_\rho</math>、<math>A_\phi</math>和<math>A_z</math>都有此一對稱，即其都和&phi;無關。另外地，其存在著鏡射對稱若且唯若''A<sub>&phi;</sub>=0''。

對於球面對稱，則不存在著如此差異，其皆意指著有鏡射面。

沒有固定點的連續對稱群則包括具有如無限[[螺旋]]之{{tsl|en|screw axis|螺旋軸}}對稱的對稱群。另見[[歐幾里得群#子群|歐幾里得群的子群]]。

==一般對稱群==

在更廣義的文句中，'''對稱群'''可能為任一種類的'''變換群'''或[[自同構]]群。一旦知道了所關注的[[數學結構]]之種類，應該就夠確定保留其結構之[[映射]]。相反地，知道其對稱即可定義其結構，或至少能弄清其內之不變量；這是看[[愛爾蘭根綱領]]的一種方式。

例如，[[有限幾何]]某些模型的自同構群在一般意思下不是「對稱群」，儘管其亦會保留對稱性。其保留著點集族，而非點集（或「物件」）本身。見[http://finitegeometry.org/sc/gen/patt.html pattern groups] {{Wayback|url=http://finitegeometry.org/sc/gen/patt.html |date=20210322144829 }}。

如上面所述，空間自同構的群會形成一於其內物件之[[群作用]]。

對於一給定之幾何空間內的一給定之幾何形狀，考慮如下之等價關係：兩個空間自同構為等價的[[若且唯若]]兩個形狀的圖樣是相同的（此處所謂之「相同」並非為「在平移和旋轉下是相同」的意思，而是指「精確地相同」）。然後，此一相同之等價類即為此形狀的對稱群，且每一等價類皆會對應到一個此形狀的同構版本。

在每一對等價類之間都存在著一個雙射：第一個等價類之代表的逆元素與第二個等價類之代表複合。

在整個空間的一有限自同構群裡，其目為形狀之對稱群的目乘上此形狀同構版本的數目。

例如：
*歐幾里得空間的等距同構，其形狀為長方形：其存在著無限多個等價類；每一個等價類都包括4個等距同構。
*空間為具[[歐幾里得度量]]的[[立方體]]；形狀包括和此空間同樣大小的立方體，其各面有著各式顏色或圖像；此一空間的自同構為48個等距同構；其狀形為各面有著不同顏色之立方體；此形狀會有著8個等距同構的對稱群，及6個各含8個等距同構的等價類，每個等價類都是此形狀的一個同構版本。

比較[[拉格朗日定理 (群論)]]及其證明。

==另見==
*[[對稱]]
*{{tsl|en|symmetry groups in one dimension|一維對稱群}}
*[[置換群]]
*{{tsl|en|Fixed points of isometry groups in Euclidean space|歐幾里得空間等距群的不動點|歐幾里得空間中等距同構群的不動點}}
*{{tsl|en|Euclidean plane isometry|歐幾里得等距}}
*[[群作用]]
*[[點群]]
*[[晶系]]
*[[空間群]]

==外部連結==
*{{MathWorld | urlname=SymmetryGroup | title=對稱群}}
*{{MathWorld | urlname=TetrahedralGroup | title=四面體群}}
*[https://web.archive.org/web/20120204104121/http://newton.ex.ac.uk/research/qsystems/people/goss/symmetry/Solids.html 32個格體點群的簡介]

[[Category:幾何學|K]]
[[Category:對稱|K]]
[[Category:群論|K]]