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在探討[[微分方程]]或是[[差分方程]]的{{le|特徵方程 (微積分)|Characteristic equation (calculus)|特徵方程}}時，[[多項式]]若滿足任一個性質，即稱為'''穩定'''：
* 所有的根都在左[[半空间|半平面]][[开集]]內。
* 所有的根都在[[单位圆盘]][[开集]]內。

第一個條件是[[連續時間]]線性系統的[[穩定性理論|穩定條件]]，第二個條件則是[[離散時間]]線性系統的穩定性條件。若符合第一個條件的多項式稱為[[赫爾維茨多項式]]，第一個條件的多項式則是{{le|舒爾多項式|Schur polynomial}}。穩定多項式常出現在[[控制理论]]中，也應用在微分方程及差分方程的數學理論中。線性[[时不变系统]]（參照[[线性时不变系统理论]]）為[[有界輸入有界輸出穩定性|BIBO穩定]]的條件是所有有界輸入的輸出都是有界。若線性系統的特徵方程為穩定多項式，系統則為BIBO穩定系統。若是連續時間系統，其分母需為赫爾維茨多項式，若是離散時間系統，其分母需為舒爾多項式。實務上，可以透過一些[[稳定性判据]]來判斷穩定性。

==性質==
*{{le|劳斯–赫尔维茨定理|Routh-Hurwitz theorem}}提供了判斷多項式是否為赫爾維茨穩定的演算法，是用[[劳斯–赫尔维茨稳定性判据]]及[[林纳德–奇帕特判据]]來實現。 
* 若要測試某多項式''P''（次數為d）是否為舒爾穩定，將上述定理用在以下轉換後的多項式中

:<math> Q(z)=(z-1)^d P\left({{z+1}\over{z-1}}\right)
</math>

是在[[莫比乌斯变换]] <math>z \mapsto {{z+1}\over{z-1}}</math>後的結果，將左半平面映射到開集的單位圓內。''P''為舒爾穩定，若且唯若''Q''為赫爾維茨穩定而且<math> P(1)\neq 0</math>。針對高次的多項式可以用其他的測驗方式（例如Schur-Cohn測試、{{le|Jury穩定性判準|Jury stability criterion}}或是{{le|Bistritz穩定性判準|Bistritz stability criterion}}）來判定，可以避免映射上的複雜計算。

* 必要條件：（實係數的）赫爾維茨穩定多項式其係數符號都相同（均為正數或是均為負數）。
* 充份條件：（實係數的）多項式<math> f(z)=a_0+a_1 z+\cdots+a_n z^n</math>若滿足以下條件：:<math> a_n>a_{n-1}>\cdots>a_0>0,</math>
則多項式為舒爾穩定。

*乘積律：二個（同樣考慮赫爾維茨穩定或舒爾穩定）多項式''f''及''g''都穩定的充份必要條件為其乘積''fg''穩定。

==例子==
* <math> 4z^3+3z^2+2z+1 </math>為舒爾穩定，因為滿足充份條件。
* <math> z^{10}</math>為舒爾穩定（因為所有的根都為零），但不滿足充份條件。
* <math> z^2-z-2</math>不是赫爾維茨穩定（其根為-1,2），因為其違反了必要條件。
* <math> z^2+3z+2 </math>是赫爾維茨穩定（其根為-1,-2）。
* 多项式 <math> z^4+z^3+z^2+z+1 </math>（都是正係數），既不是赫爾維茨穩定，也不是舒爾穩定，其根為5次[[单位根]]中的4個原根

::<math> z_k=\cos\left({{2\pi k}\over 5}\right)+i \sin\left({{2\pi k}\over 5}\right), \, k=1, \ldots, 4 \ .</math>

:注意

::<math> \cos({{2\pi}/5})={{\sqrt{5}-1}\over 4}>0.
</math>

:這是舒爾穩定的臨界情形，因為根恰好在單位圓上，也看到上述的赫爾維茨穩定條件（根均為正）只是必要條件，不是充份條件。

==外部連結==
* [http://mathworld.wolfram.com/StablePolynomial.html Mathworld page] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/StablePolynomial.html |date=20210226050200 }}

==相關條目==
* [[稳定性判据]]
* {{le|穩定半徑|Stability radius}}

[[Category:稳定性理论]]
[[Category:多項式]]