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在[[數論]]中，'''積性函數'''是指一個[[定義域]]為正[[整數]]''n'' 的[[算術函數]]''f(n)''，有如下性質：''f(1) = 1''，且當''a'' 和''b'' 互質時，''f(ab) = f(a) f(b)''。

若一個函數''f(n)'' 有如下性質：''f(1) = 1''，且對兩個隨意正整數''a'' 和''b'' 而言，不只限這兩數互質時，''f(ab) = f(a)f(b)'' 都成立，則稱此函數為[[完全積性函數]]。

在數論以外的其他數學領域中所談到的'''積性函數'''通常是指'''完全積性函數'''。此條目則只討論數論中的'''積性函數'''。

==例子==
*<math>\varphi(n)</math>－[[歐拉φ函數]]，計算與''n''互質的正整數之數目
*<math>\mu(n)</math>－[[默比烏斯函數]]，關於非[[平方數]]的[[質因子]]數目
*<math>\gcd(n,k)</math> －[[最大公因數]]，當''k''固定的情況
* <math>\sigma_k</math>(''n''): [[除數函數]]，''n''的所有正因數的k次[[冪]]之和，當中''k''可為任何[[复数 (数学)|複數]]。在特例中有：
** <math>\sigma_0</math>(''n'') = ''d''(''n'')  - ''n''的正[[因數]]數目
** <math>\sigma_1</math>(''n'') = <math>\sigma</math>(''n'') - ''n''的所有正因數之和
* 1(''n'') －不變的函數，定義為 1(''n'')=1 （完全積性）
* Id(''n'') －單位函數，定義為 Id(''n'')=''n'' （完全積性）
* Id<sub>k</sub>(''n'') －冪函數，對於任何複數、實數''k''，定義為Id<sub>''k''</sub>(''n'') = ''n''<sup>''k''</sup> （完全積性）
** Id<sub>0</sub>(''n'') = 1(''n'') 及
** Id<sub>1</sub>(''n'') = Id(''n'')
* ε(''n'') －定義為：若''n'' = 1，ε(n)=1；若''n'' > 1，ε(''n'')=0。有時稱為「對於狄利克雷卷積的乘法單位」（完全積性）
* (''n/p'') －[[勒讓德符號]]，''p''是固定質數（完全積性）
* λ(''n'') －[[劉維爾函數]]，關於能整除''n''的質因子的數目
* &gamma;(''n'')，定義為&gamma;(''n'')=(-1)<sup>&omega;(n)</sup>，在此[[加性函數]]&omega;(''n'')是不同能整除''n''的質數的數目
* 所有狄利克雷特徵均是完全積性的

==性質==
積性函數的值完全由[[質數]]的冪決定，這和[[算術基本定理]]有關。即是說，若將''n''表示成[[質因數分解]]式如<math>{p_1}^{a_1} {p_2}^{a_2} ... {p_k}^{a_k}</math>，則<math>f(n)=f({p_1}^{a_1}) f({p_2}^{a_2}) ... f({p_k}^{a_k})</math>。

若''f''為積性函數且<math>f(p^n) = f(p)^n</math>，則''f''為完全積性函數。

==狄利克雷卷積==
兩個積性函數的[[狄利克雷卷積]]必定是積性函數。因此，以卷積為[[群]]的運算，所有積性函數組成了一個子群。但注意兩個完全積性函數的卷積未必是完全積性的。

[[Category:算術函數]]
[[Category:积性函数| ]]