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{{NoteTA |G1=Math}}

'''積分常數'''是（{{lang-en|Constant of integration}}）指在[[微積分]]中，[[函數]]的[[不定積分]]表示式中會出現的一個待定常數，一般會用''C''表示，一函數的反導數有無窮多個，但其中除了積分常數不同外，其餘部份均相同<ref>{{cite book | last=Stewart | first=James | title=Calculus: Early Transcendentals |publisher=Brooks/Cole | edition=6th | year=2008 | isbn=0-495-01166-5}}</ref><ref>{{cite book | last1=Larson | first1=Ron | last2=Edwards | first2=Bruce H. | title=Calculus | publisher=Brooks/Cole | edition=9th | year=2009 | isbn=0-547-16702-4}}</ref>{{notetag|積分常數表示在[[反导数]]本身有一些模稜两可之處。若針對函數<math>f(x)</math>，而<math>F(x)</math>是<math>f(x)</math>的一個反導數，則函數<math>f(x)</math>的所有反導數可以用<math>F(x) + C</math>來表示，其中''C''為任意值。有些[[積分表]]為了簡單起見，會省略不定積分的積分常數。}}。

==簡介==

任何常數函數的導數均為零，因此只要發現一個函數的反導數<math>F(x)</math>，因為<math>(F(x) + C)' = F\,'(x) + C\,' = F\,'(x)</math>，加上或減去一常數''C''後的函數也是反導數，積分常數可用來表示任何函數均有無限個不同的反導數。

例如，假設需要求得 <math>\cos(x)</math>的反導數，<math>\sin(x)</math>、<math>\sin(x)+1</math>及<math>\sin(x)-\pi</math>的導數都是<math>\cos(x)</math>，因此都是<math>\cos(x)</math>的反導數。

同一個函數可以有許多的反導數，而這些反導數之間只相差一個常數，因此若要列出 <math>\cos(x)</math>所有的反導數，可以用以下的通式：
:<math>\int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C.</math>

''C''即為積分常數，利用下式可以確認這些函數的確都是<math>\cos(x)</math>的反導數：
:<math>\begin{align}
\frac{d}{dx}[\sin(x) + C] &= \frac{d}{dx}[\sin(x)] + \frac{d}{dx}[C] \\
                          &= \cos(x) + 0 \\
                          &= \cos(x)
\end{align}</math>

若利用線性代數的描述方式，[[微分算子]]可將k+1維的向量映射到k維的空間中，因此其反運算（積分）會多一個待確定的條件<ref>Albert Tarantola, "Inverse Problems: Exercices. Chapter 8: The Derivative Operator, its Transpose, and its Inverse", 12 March 2007</ref>。

==積分常數的必要性==

積分常數可以設為0，而且利用[[微積分基本定理]]計算[[定積分]]時，積分常數會互相抵消，積分常數看似沒有必要。

不過試圖將積分常數設為0的作法不一定合理，例如<math>2\sin(x)\cos(x)</math>可以用以二種方式積分： 

:<math>\begin{align}
\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx &=&  \sin^2(x) + C &=& -\cos^2(x) + 1 + C \\
\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx &=& -\cos^2(x) + C &=&  \sin^2(x) - 1 + C
\end{align}</math>

即使將''C''設為0，仍然有些積分表示式中會出現常數，也就是說有些函數不存在一種最簡單的反導數。

使用積分常數的另一個原因，是有時會需要反導數在特定點為某特定值，就像是[[初值問題]]的情形一様。例如要求出<math>\cos(x)</math>的反導數，且''x'' = &pi;時的值為100，此時''C''只有一個數值才能滿足此條件（此例中''C'' = 100）。

上述限制可以用[[微分方程]]的形式來描述：求解一個函數<math>f(x)</math>的反導數也就是求解[[微分方程]]<math>\frac{dy}{dx} = f(x)</math>。任何微分方程都有許多的解，每一個解都是一個良態[[初值問題]]的唯一解。上一段的問題中''x'' = &pi;時的值為100即為初始條件。每一個初值問題對應一個唯一的''C''值，若沒有積分常數''C''，許多初值問題就無法求解。

==不同反導數之間只差一個常數的原因==

原因可以用以下定理來表示：令<math>F:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math>及<math>G:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math>為二個處處可微的函數。假設對於所有的實數''x''，<math>F\,'(x) = G\,'(x)</math>都成立，則存在一實數''C''使得對於所有的實數''x''，<math>F(x) - G(x) = C</math>皆成立。

若要證明此式，由於<math>[F(x) - G(x)]' = 0</math>，因此以下用''F''-''G''來代替''F''，而用常數函數0來代替''G''，待證明為一個處處可微，導數恆為0的函數一定是常數：

選擇一實數''a''，令<math>C = F(a)</math>。針對任意的''x''，依照[[微積分基本定理]]可得
:<math>\begin{align}
\int_a^x 0\,dt &= F(x)-F(a)\\
               &= F(x)-C,
\end{align}</math>
因此可得<math>F(x)=C</math>，因此''F''為常數函數。

證明過程中，有二個條件相當重要。首先，實數數線為[[連通空間]]，若實數數線不是連通空間，就無法從固定的''a''點積分到任意的''x''點。例如一函數只在[0,1]及[2,3]的區間有定義，而''a''為0，因為函數在1到2之間沒有定義，不可能從0積分到3。此時會有二個常數，分別對應[[定义域]]中的二個連通空間。一般而言，若將常數改為{{link-en|局部常數函數|locally constant function}}s，可以將此定理延伸到不連通的空間中。例如<math>\textstyle\int dx/x</math>有二個積分常數，而<math>\textstyle\int \tan x\,dx,</math>有無限個積分常數。1/''x''積分的一般式為：<ref>"[http://golem.ph.utexas.edu/category/2012/03/reader_survey_logx_c.html Reader Survey: log|''x''| + ''C''] {{Wayback|url=http://golem.ph.utexas.edu/category/2012/03/reader_survey_logx_c.html |date=20201111150624 }}", Tom Leinster, ''The ''n''-category Café'', March 19, 2012</ref>
:<math>\int {1 \over x}\,dx = \begin{cases}\ln \left|x \right| + C^- & x < 0\\
\ln \left|x \right| + C^+ & x > 0
\end{cases}</math>

再者，''F''和''G''的條件需是處處可微的函數，若''F''及''G''在某一點不可微，則以上定理不成立。例如令<math>F(x)</math>[[单位阶跃函数]]，在''x''負值時為0，在''x''非負時為1，令<math>G(x)=0</math>。''F''在有定義導數的區域，其導數為0，''G''的導數恆為0，但''F''及''G''不只差一個常數而已。

甚至假設''F''及''G''為處處連續，[[幾乎處處]]可微，則以上定理仍然不成立。[[康托函數]]和常數函數0就是這樣的例子。

==注释==
{{notefoot}}
==參考資料==
{{reflist}}

[[Category:积分学]]