查看“︁稳定分布”︁的源代码

{{NoteTA |G1=Math}}
{{機率分佈
|name       =稳定分布
|type       =密度
|pdf_image  =[[File:Levy distributionPDF.png|325px|机率密度函数]]
|cdf_image  =[[File:Levy distributionCDF.png|325px|累计分布函数]]| 	 
  parameters =<math>\alpha\in (0,2]\,</math> 指数 <br>
<math>\beta\in [-1,1]\,</math> [[偏度]] <br>
<math>c\in [0,\infty)\,</math> [[尺度参数]]  <br>
<math>\mu \in (-\infty,\infty)\,</math> [[位置参数]]
| support   =<math>x \in (-\infty; +\infty)\!</math>
| pdf        =通常没有解析式，见下文
|cdf        =通常没有解析式，见下文
|mean       =当α≤1时未定义，否则等于μ
|median     =见下文 当β=0时，等于μ
|mode       =当β=0时，等于μ|  
  variance   =无穷（除了当 α=2，当它是2c<sup>2</sup>）
|skewness   =未定义
|kurtosis   =未定义
|entropy    =见下文
|mgf        =未定义
|char       =<math>\exp\left[~it\mu - |c t|^\alpha\,(1-i \beta\,\mbox{sgn}(t)\Phi)~\right]</math><br>
<math>\Phi=\tan(\pi \alpha/2)\,</math> for <math>\alpha \ne 1\,</math><br>
<math>\Phi=-(2/\pi)\log|t|\,</math> for <math>\alpha = 1\,</math>
}}

在[[概率论]]中，'''稳定分布'''（Stable distribution，又称为'''雷维偏阿尔法-稳定分布'''（Levy skew alpha-stable distribution））是一种[[概率分布|连续概率分布]]，它是由[[保羅·皮埃爾·萊維|保罗·皮埃尔·莱维]]发展起来的。在稳定分布中，独立同分布的[[随机变量]]之和及它们本身具有相同的分布。

更明確的說，如果<math>X_1, X_2</math>為分布<math>X</math>之獨立隨機變量，令<math>Y = aX_1 + bX_2 + c</math>為<math>X_1, X_2</math>的线性组合，若<math>Y</math>之分布滿足<math>dX + e</math>，則稱<math>X</math>為穩定分布。如果对于所有的<math>a</math>、<math>b</math>和<math>c</math>，<math>e=0</math>，則稱<math>X</math>為'''严格'''稳定。 

稳定分布被用作金融数据的分析。比如[[本華·曼德博]]发现棉花价格的变化服从稳定分布（<math>\alpha = 1.7</math>）。

==分布==
一个稳定分布可以用尺度<math>c</math>、特性指数<math>\alpha</math>、移位<math>\mu</math>和偏度参数<math>\beta</math>来表示。

偏度参数必须位于区间[−1, 1]内。当它为零时，分布呈对称，可以称为'''雷維阿尔法对称稳定分布'''。指数<math>\alpha</math>必须位于区间(0, 2]内。 

稳定分布可以用它的[[特征函数 (概率论)|特征函数]]<math>\varphi(t)</math>的[[连续傅里叶变换]]来定义：

:<math>
f(x;\alpha,\beta,c,\mu) = {1 \over 2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi (t)
e^{-itx}\,dt
</math>

其中<math>\varphi(t)</math>可以表示为：

<math>
\varphi(t) = 
\exp\left[~it\mu\!-\!|c t|^\alpha\,(1\!-\!i \beta\,\textrm{sgn}(t)\Phi)~\right]
</math>

其中sgn''(t)'' 是''t''  的[[符号函数|符号]]，<math>\Phi</math> 表示为：

:<math>\Phi=\tan(\pi \alpha/2)\,</math>
当<math>\alpha = 1</math>时
:<math>\Phi=-(2/\pi)\log|t|.\,</math>

<math>\mu</math>是移位参数，<math>\beta</math>衡量对称性。当<math>\beta</math>=0时，表示分布关于<math>\mu</math>对称。<math>c</math>是尺度因素，它衡量分布的宽度。<math>\alpha</math>是分布指数，表示当<math>\alpha < 2</math>时分布的渐进行为。  

当<math>\alpha < 2</math> 时的渐进行为可以表示为：

:<math>
f(x)\sim\frac{\alpha c^\alpha (1+\beta) \sin(\pi \alpha / 2)\Gamma(\alpha)/\pi}{|x|^{1+\alpha}}
</math>
其中Γ是[[Γ函数|伽马函数]]（除了当α<1和β=1或-1时，尾部向着左边或者右边消失）。这种“重尾”行为造成稳定分布的方差在<math>\alpha < 2</math> 时无限大。

==特例==
<math>p(x)</math>的形式没有统一的方案，但是却存在三个特例： 
*对于<math>\alpha=2</math>，分布缩减为[[正态分布]]（[[方差]]为<math>\sigma^2=2c^2</math>，均值为<math>\mu</math>），穩定分佈是[[峰度|高狹峰的]]（leptokurtic）和[[重尾分布]]。
*对于<math>\alpha=1</math>和<math>\beta=0</math>，分布缩减为[[柯西分布]]（尺度参数为<math>c</math>，移位参数为<math>\mu</math>）
*对于<math>\alpha=1/2</math>和<math>\beta=1</math>，分布缩减为[[雷維分布]]（尺度参数为<math>c</math>，移位参数为<math>\mu</math>）  
以上三个分布其实是相互关联的。一个标准的柯西[[随机变量]]可以被看成是高斯随机变量（所有均值为零）和一个标准雷维分布的方差的混合。

==稳定性质==
稳定分布拥有稳定性质，如果把<math>N</math>个阿尔法稳定变量<math>X_i</math>从以下分布中提出：

:<math>X_i \sim f(x;\alpha, \beta,c,\mu)\,</math>

那么

:<math>Y = \sum_{i=1}^N k_i (X_i-\mu)\,</math>

也像阿尔法稳定变量那样分布

:<math>Y \sim \frac{1}{s}\,\,f(y/s;\alpha,\beta,c,0).\,</math>
其中：

:<math>s=\left(\sum_{i=1}^N |k_i|^\alpha\right)^{1/\alpha}.\,</math>

这用特性函数的性质可以很容易证明。

==广义中心极限定理==
另外一个关于稳定分布的重要的性质是它们在[[中心极限定理]]中扮演的角色。中心极限定理阐明了随着有限方差的随机变量数量增长，它们的和的分布趋向[[正态分布]]。一个推广的理论指出随着服从以<math>1/|x|^{\alpha+1}</math>递减的幂律尾分布（因此具有无限方差）的随机变量数量增长，它们的和的分布趋向稳定分布<math>f(x;\alpha,0,c,0)</math> 。

==级数表示法==
稳定分布可以用更简单的积分来表示：

:<math>f(x;\alpha,\beta,c,\mu)=\frac{1}{\pi}\Re\left[
\int_0^\infty e^{it(x-\mu)}e^{-(ct)^\alpha(1-i\beta\Phi)}\,dt\right]</math>

把第二部分用[[泰勒级数]]表示，我们有：
:<math>f(x;\alpha,\beta,c,\mu)=\frac{1}{\pi}\Re\left[
\int_0^\infty e^{it(x-\mu)}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-qt^\alpha)^n}{n!}\right]</math>
其中<math>q=c^\alpha(1-i\beta\Phi)</math>

把积分和求和的顺序对调，然后进行积分，式子变成：

:<math>f(x;\alpha,\beta,c,\mu)=\frac{1}{\pi}\Re\left[
\sum_{n=1}^\infty\frac{(-q)^n}{n!}\left(\frac{1}{i(x-\mu)}\right)^{\alpha n+1}\Gamma(\alpha n+1)\right]</math>
（在<math>x\ne\mu</math>的情况下成立）

==参考==
*GNU Scientific Library - Reference Manual Edition 1.12, for GSL Version 1.12, 16 December 2008
**{{cite web | title=The Levy alpha-Stable Distributions | work=GNU Scientific Library - Reference Manual | url=http://www.gnu.org/software/gsl/manual/gsl-ref.html#The-Levy-alpha_002dStable-Distributions | accessdate=2006-11-24 | archive-date=2006-11-23 | archive-url=https://web.archive.org/web/20061123123841/http://www.gnu.org/software/gsl/manual/gsl-ref.html#The-Levy-alpha_002dStable-Distributions | dead-url=no }}
**{{cite web | title=The Levy skew alpha-Stable Distribution | work=GNU Scientific Library - Reference Manual | url=http://www.gnu.org/software/gsl/manual/gsl-ref.html#The-Levy-skew-alpha_002dStable-Distribution | accessdate=2006-11-24 | archive-date=2006-11-23 | archive-url=https://web.archive.org/web/20061123123841/http://www.gnu.org/software/gsl/manual/gsl-ref.html#The-Levy-skew-alpha_002dStable-Distribution | dead-url=no }}
* {{note_label|Gnedenko1954||}}{{cite book|author=B. V. Gnedenko and A. N. Kolmogorov|year=1954|title=Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables|url=https://archive.org/details/limitdistributio00gned_0|publisher=Addison-Wesley|id= }}
* {{note_label|Voit2003||}}{{cite book|author=Johannes Voit|year=2003|title=The Statistical Mechanics of Financial Markets (Texts and Monographs in Physics)|publisher=Springer-Verlag|id=ISBN 978-3-540-00978-8}}
* {{cite web | title=Some improvements in numerical evaluation of symmetric stable density and its derivatives | work=CIRGE Discussion paper | url=http://www.e.u-tokyo.ac.jp/cirje/research/dp/2004/2004cf292.pdf | deadurl=yes | archiveurl=https://web.archive.org/web/20061001221153/http://www.e.u-tokyo.ac.jp/cirje/research/dp/2004/2004cf292.pdf | archivedate=2006-10-01 }}
* {{note_label|NolanWeb||}}{{cite web | author=John P. Nolan | title=Information on stable distributions | url=http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/stable.html | accessdate=2006-11-24 | archive-date=2006-10-30 | archive-url=https://web.archive.org/web/20061030061441/http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/stable.html | dead-url=yes }}
**{{note_label|NolanWeb1||}}{{cite web| author=John P. Nolan| title=Stable Distributions Models for Heavy Tailed Data| year=January 11, 2005| url=http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/chap1.pdf| format=PDF| accessdate=2006-11-24| archive-date=2011-07-17| archive-url=https://web.archive.org/web/20110717003439/http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/chap1.pdf| dead-url=no}}
**{{note_label|NolanWeb2||}}{{cite web| author=John P. Nolan| title=Bibliography on stable distributions, processes and related topics| year=November 29, 2005| url=http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/StableBibliography.pdf| format=PDF| accessdate=2006-11-24| archive-date=2006-09-01| archive-url=https://web.archive.org/web/20060901221150/http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/StableBibliography.pdf| dead-url=no}}
* {{note_label|Ibragimov1971||}}{{cite book|author= I. Ibragimov, Yu. Linnik|year=1971|title= Independent and Stationary Sequences of Random Variables |publisher=Wolters-Noordhoff Publishing Groningen, The Netherlands|id= }}
* {{note_label|Peach1981||}}{{cite journal | first = G. | last = Peach | year = 1981 | title = Theory of the pressure broadening and shift of spectral lines | journal = Advances in Physics | volume = 30 | issue = 3 | pages = 367-474 | url = http://journalsonline.tandf.co.uk/openurl.asp?genre=article&eissn=1460-6976&volume=30&issue=3&spage=367 | access-date = 2006-11-24 | archive-date = 2013-01-14 | archive-url = https://archive.today/20130114060003/http://journalsonline.tandf.co.uk/openurl.asp?genre=article&eissn=1460-6976&volume=30&issue=3&spage=367 | dead-url = yes }}
* {{note_label|Zolotarev1986||}}{{cite book | author=V.M. Zolotarev | year = 1986
 | title = One-dimensional Stable Distributions
 | url=https://archive.org/details/onedimensionalst00zolo_0 | publisher = American Mathematical Society
}}

{{概率分布|continuous-infinite}}

[[Category:连续分布]]
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