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在[[拓扑学]]及[[数学]]的其它相关领域，给定[[拓扑空间]]''X''及其[[子集]]''A''，如果对于''X''中任一点''x''，''x''的任一[[邻域]]同''A''的[[交集]]不为空，则''A''称为在''X''中'''稠密'''。直观上，如果''X''中的任一点''x''可以被''A''中的点很好的逼近，则称''A''在''X''中'''稠密'''。

等价地说，''A''在''X''中'''稠密'''当且仅当''X''中唯一包含''A''的[[闭集]]是''X''自己。或者说，''A''的[[閉包 (拓撲學)|閉包]]是''X''，又或者''A''的补集的[[内部]]是[[空集]]。

== 度量空间中的稠密集 ==

在[[度量空间]](''E'',''d'')中，也可以如下定义稠密集。当''X''的拓扑由一个度量给定时，在''X''中''A''的[[闭包 (拓扑学)|闭包]]<math>\overline{A}</math>是''A''与''A''中元素的所有数列极限（它的''极限点''）的集合的并集，<br />
:<math>\overline{A} = A \cup \{ \lim_n a_n : \forall n \ge 0, \ a_n \in A \}</math>。

那么当
:<math> \overline{A} = X</math>，
''A''在''X''中是稠密的。

注意<math> A \subseteq \{ \lim_n a_n : \forall n \ge 0, \ a_n \in A \}</math>。如果<math>\{U_n\}</math>是一个完备度量空间''X''中稠密[[开集]]上的序列，则<math>\cap^{\infty}_{n=1} U_n</math>在''X''上依然稠密。这个事实与[[贝尔纲定理]]中的一个形式等价。

== 例子 ==
* 每一拓扑空间是其自身的稠密集。
* [[有理数|有理数域]]和[[无理数|无理数域]]是[[实数域]]中的稠密集（在通常[[拓扑]]意义下）。
* 度量空间<math>M</math>是其[[完备空间|完备集]]<math>\gamma M</math>中的稠密集。

== 参见 ==
* [[可分空间]]：存在可数稠密集的空间。
* [[无处稠密集]]：意如其文。

==參考文獻==
{{refbegin}}
* {{cite book |author=Nicolas Bourbaki |authorlink=Nicolas Bourbaki |title=General Topology, Chapters 1–4 |series=Elements of Mathematics |year=1989 |origyear=1971 |publisher=[[Springer-Verlag]] |isbn=3-540-64241-2 |ref=bourbaki}}
* {{Citation | last1=Steen | first1=Lynn Arthur | author1-link=Lynn Arthur Steen | last2=Seebach | first2=J. Arthur Jr. | author2-link=J. Arthur Seebach, Jr. | title=[[Counterexamples in Topology]] | origyear=1978 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=[[Dover Publications|Dover]] reprint of 1978 | isbn=978-0-486-68735-3 | id={{MathSciNet|id=507446}} | year=1995}}
{{refend}}

{{点集拓扑}}

[[Category:点集拓扑学|C]]