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{{unsolved|数学|能通过单位宽度的L形平面通道的刚性二维形状的最大面积是多少？}}
'''移动沙发问题'''，又称'''沙发问题'''，是一个[[数学]]问题。这一问题来源于现实生活中推沙发过走廊情景的二维理想化，其内容为求出能通过单位宽度的L形平面通道的刚性二维形状的最大[[面积]]''A''。<ref name="Neal Wagner">{{cite journal |last=Wagner |first=Neal R. |title=The Sofa Problem |journal=The American Mathematical Monthly |volume=83 |issue=3 |year=1976 |pages=188–189 |doi=10.2307/2977022 |url=http://www.cs.utsa.edu/~wagner/pubs/corner/corner_final.pdf |jstor=2977022 |access-date=2022-04-17 |archive-date=2015-04-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150420160001/http://www.cs.utsa.edu/~wagner/pubs/corner/corner_final.pdf }}</ref>这一最大面积''A''被称为沙发常数。沙发常数的确切值至今尚未求出。2024年11月，Jineon Baek发布了一份[[arXiv]]预印本，声称证明了约瑟夫·热弗提出的解为最优解，如果属实，将解决移动沙发问题。<ref name="Jineon Baek">{{cite arXiv|last=Baek|first=Jineon|date=2024-11-29|title=Optimality of Gerver's Sofa|eprint=2411.19826|class=math.MG}}</ref>
==历史==
1966年，[[奥地利]]裔[[加拿大]]数学家[[李奧·莫澤]]最早在正式刊物上提出这一问题。不过在此之前，这一问题已在非正式的场合被多次讨论过。<ref name="Neal Wagner"/>
==上下界==
现有的研究已经给出了沙发常数的上下界。
===下界===
[[Image:Hammersley sofa animated.gif|right|280px|thumb|哈默斯利沙发的面积为2.2074，但并非最大解]]
[[Image:Gerver.svg|right|280px|thumb|热弗沙发由18个曲线部分围成，面积为2.2195]]
该问题的一个显而易见的下界是<math>A \geq \pi/2 \approx 1.57</math>，即单位半径半圆盘沙发的面积。这种形状的沙发可以在L型通道的拐角处旋转90度后通过。

数学家{{le|约翰·哈默斯利|John Hammersley}}根据上面这种最简单的情形推导出了一种类似形状的沙发，将下界提高到了<math>A \geq \pi/2 + 2/\pi \approx 2.2074</math>。这种沙发-{}-状如[[电话听筒]]，由一个长为<math>4/\pi</math>，宽为1的矩形的长边上挖去一个半径为<math>2/\pi</math>的半圆，再在其两条短边上各接一个单位半径的四分之一圆盘得到。<ref>{{cite book |last1=Croft |first1=Hallard T. |last2=Falconer |first2=Kenneth J. |last3=Guy |first3=Richard K. |authorlink3=Richard K. Guy |title=Unsolved Problems in Geometry |series=Problem Books in Mathematics; Unsolved Problems in Intuitive Mathematics |volume=II |editor-last=Halmos |editor-first=Paul R. |publisher=Springer-Verlag |year=1994 |isbn=978-0-387-97506-1 |url=https://archive.org/details/unsolvedproblems0000crof |accessdate=2013-04-24 |url-access=registration }}</ref><ref>Finch, Steven, [https://web.archive.org/web/20080107101427/http://mathcad.com/library/constants/sofa.htm Moving Sofa Constant], ''[[Mathcad|Mathcad Library]]'' (includes a diagram of Gerver's sofa).</ref>

1992年，[[罗格斯大学]]的约瑟夫·热弗提出了一种由18条光滑曲线围成的沙发，将沙发常数的下限增加到大约2.2195。<ref>{{cite journal |last=Gerver |first=Joseph L. |title=On Moving a Sofa Around a Corner |journal=[[Geometriae Dedicata]] |issn=0046-5755 |volume=42 |issue=3 |pages=267–283 |year=1992 |doi=10.1007/BF02414066|s2cid=119520847 }}</ref><ref>{{cite mathworld|urlname=MovingSofaProblem|title=Moving sofa problem}}</ref>

2014年，业余数学家菲利普·吉布斯通过计算机演算得到了一种最优沙发，其形状与热弗沙发无法区分，计算出的面积值在八位有效数字下相等。<ref>{{Cite web |url=https://www.researchgate.net/publication/311900489_A_Computational_Study_of_Sofas_and_Cars |title=Gibbs, Philip, A Computational Study of Sofas and Cars |access-date=2022-04-17 |archive-date=2022-04-17 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220417130422/https://www.researchgate.net/publication/311900489_A_Computational_Study_of_Sofas_and_Cars }}</ref>这说明热弗沙发可能是问题的最优解，不过这一点尚未得到数学上的证明。

===上界===
哈默斯利求得的沙发常数上界为<math>2\sqrt{2} \approx 2.8284</math>。<ref name="Neal Wagner"/><ref>{{cite book |last=Stewart |first=Ian |authorlink=Ian Stewart (mathematician) |title=Another Fine Math You've Got Me Into... |date=January 2004 |publisher=Dover Publications |location=Mineola, N.Y. |isbn=0486431819 |url=http://store.doverpublications.com/0486431819.html |accessdate=2013-04-24 |archive-date=2021-06-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210621155607/https://store.doverpublications.com/0486431819.html }}</ref>

2017年6月，约夫·卡卢斯和丹·鲁米克证明了沙发常数不大于2.37。<ref>{{Cite journal|last1=Kallus|first1=Yoav|last2=Romik|first2=Dan|date=December 2018|title=Improved upper bounds in the moving sofa problem|journal=[[Advances in Mathematics]]|volume=340|pages=960–982|arxiv=1706.06630|doi=10.1016/j.aim.2018.10.022|s2cid=5844665|issn=0001-8708}}</ref>
==双灵活沙发==
[[Image:Romik.svg|right|280px|thumb|鲁米克双灵活沙发]]
沙发问题的一个变体是：求出能够通过两个拐角均为直角的单位宽度'''之字形走廊'''的刚性二维形状的最大面积。对这个问题，丹·鲁米克设计了一种同样由18个曲线部分组成的“双灵活沙发”，得出这一问题的下界为1.64495521。<ref name="Dan Romik">{{cite journal |last=Romik |first=Dan |title=Differential equations and exact solutions in the moving sofa problem |journal=Experimental Mathematics |volume=26 |issue=2 |year=2017 |pages=316–330 |doi=10.1080/10586458.2016.1270858 |arxiv=1606.08111 |s2cid=15169264 }}</ref><ref name="UCDavis">{{cite web|last1=Romik|first1=Dan|title=The moving sofa problem - Dan Romik's home page|url=https://www.math.ucdavis.edu/~romik/movingsofa/|website=UCDavis|accessdate=2017-03-26|archive-date=2022-01-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20220110223000/https://www.math.ucdavis.edu/~romik/movingsofa/}}</ref>
==参考资料==
{{reflist}}
==外部链接==
*{{cite web|last1=Romik|first1=Dan|title=The Moving Sofa Problem|url=https://www.youtube.com/watch?v=rXfKWIZQIo4 |archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211221/rXfKWIZQIo4 |archive-date=2021-12-21 |url-status=live|website=YouTube|publisher=[[Brady Haran]]|accessdate=2017-03-24|format=视频|date=2017-03-23}}{{cbignore}}
*[https://github.com/ykallus/SofaBounds SofaBounds 计算沙发移动问题边界的程序] {{Wayback|url=https://github.com/ykallus/SofaBounds |date=20220417130423 }}
*[https://www.thingiverse.com/thing:2191347 鲁米克双灵活沙发的三维模型] {{Wayback|url=https://www.thingiverse.com/thing:2191347 |date=20201107082707 }}

[[Category:离散几何]]
[[Category:未解决的几何学问题]]
[[Category:趣味数学]]
[[Category:1966年面世]]