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在[[拓扑学]]的相关领域中，'''积空间'''是指一族[[拓扑空间]]的[[笛卡儿积]]與其配备的自然拓扑结构，這個自然拓扑结构被稱為'''积拓扑'''（{{Lang-en|Product topology}}）。

== 無窮積空間 ==

直觀動機上，一族[[拓扑空间]][[笛卡儿积]]，最「自然」的拓撲，應該是'''使投影映射都是連續函數的[[拓撲比較#最粗拓撲|最粗拓撲]]'''；換句話說，設有[[集合族]] <math>\mathcal{X}</math> ，具有指標集 <math>I</math> 與指標函數 <math>x</math> ：

: <math>I \,\overset{x}{\cong}\, \mathcal{X}</math>

且有相應的一族[[拓扑空间#开集系|拓扑]] <math>\mathcal{T}</math> 與指標函數 <math>\tau</math> ：

: [[拓扑空间#开集系|<math>I \,\overset{\tau}{\cong}\, \mathcal{T}</math>]]
: [[拓扑空间#开集系|<math>(\forall i \in I)
[\tau(i) \text{ is topology of } x(i)]</math>]]

若 <math>\tau_{\pi}</math> 就是[[笛卡儿积#无穷乘积|无穷乘积]] <math> \prod_{x} \mathcal{X}  </math> 上'''滿足需求的那個拓撲'''，那對於任意指標 <math>j \in I</math> ，以下的第 <math>j</math> 投影映射：

: <math> \pi_j: \prod_{x} \mathcal{X} \to x(j)  </math>
: <math> \left(\forall f \in \prod_{x} \mathcal{X} \right)
[\pi_{j}(f) = f(j)]  </math>

必須對所有開集 <math>o_j \in \tau(j)</math> 須滿足：

: <math>{(\pi_j)}^{-1}(o_j) \in \tau_\pi</math>

也就是說，<math> \pi_j  </math> 必須 <math>\tau_{\pi}</math>-<math> \tau(j)  </math> [[拓扑空间#连续映射与同胚|连续]]。

首先從 <math> \pi_j  </math> 的定義，對任意 <math> f  </math> 有：

: <math>\left[f \in {(\pi_j)}^{-1}(o_j)\right]
\Leftrightarrow
\left\{
\left(\forall f \in \prod_{x} \mathcal{X} \right)
    \wedge
\big[f(j)\in o_j\big]
\right\}   </math>

那如果取個[[一對一函數|一對一]]函數 <math>o: I \to \bigcup \mathcal{T}</math> 滿足：

: <math>(\forall i \in I)
\left\{(i\neq j) \Rightarrow \big[o(i) = x(i)\big]
\right\}</math>
: <math>o(j) = o_j</math>

那以上的要求就可以寫為：

: <math>{(\pi_j)}^{-1}(o_j) = \prod_{o} o(I) \in \tau_\pi </math>

也就是除了 <math>j \in I</math> 取小開集，其他都選全集的無窮乘積，應該也要是 <math>\tau_{\pi}</math> 的開集。所以目標所求的最「自然」的拓撲 <math>\tau_{\pi}</math> ，應該是包含：

: <math>\left\{
\prod_{o} o(I) \,\Bigg|\,
(\exists j \in I)\left\{
    \left(o: I \to \bigcup \mathcal{T}\right)
    \wedge
    (\forall i \in I)\left\{(i\neq j) \Rightarrow \big[o(i) = x(i)\big]\right\}
    \wedge
    \big[o(j) \in \tau(j)\big]
\right\}
\right\} </math>

的[[拓撲比較#最粗拓撲|最粗拓撲]]，總結如下：

{{Math theorem
| name = 定義
| math_statement = 設有[[集合族]] <math>\mathcal{X}</math> ，具有指標集 <math>I</math> 與指標函數 <math>x</math> ：

: <math>I \,\overset{x}{\cong}\, \mathcal{X}</math>

且有相應的一族[[拓扑空间#开集系|拓扑]] <math>\mathcal{T}</math> 與指標函數 <math>\tau</math> ：

: [[拓扑空间#开集系|<math>I \,\overset{\tau}{\cong}\, \mathcal{T}</math>]]
: [[拓扑空间#开集系|<math>(\forall i \in I)
[\tau(i) \text{ is topology of } x(i)]</math>]]

取：

: <math>\mathcal{C}
=
\left\{
\prod_{o} o(I) \,\Bigg|\,
(\exists j \in I)\left\{
    \left(o: I \to \bigcup \mathcal{T}\right)
    \wedge
    (\forall i \in I)\left\{(i\neq j) \Rightarrow \big[o(i) = x(i)\big]\right\}
    \wedge
    \big[o(j) \in \tau(j)\big]
\right\}
\right\}
 </math>

那在 <math> \prod_{x} \mathcal{X}  </math>  上包含 <math>\mathcal{C}</math> 的[[拓撲比較#最粗拓撲|最粗拓撲]] <math>\tau_{\pi}</math> 被稱為 <math> \prod_{x} \mathcal{X}  </math>  的'''積拓撲'''，而 <math> \left(\prod_{x} \mathcal{X},\, \tau_\pi\right)  </math> 被稱為相應的'''積空間'''。
}}
== 有限積空間 ==
如果指标集为有限，则积拓扑有更简单的表述；這是因為可以免除用[[函数]]定義[[笛卡儿积#无穷乘积|无穷乘积]]的迂迴途徑，而且還可以應用開集的有限交集為開集的特性。以下仿造上面[[积空间#無窮積空間|無窮積空間]]一節來炮製更簡明的'''有限积拓扑'''：

設 <math>(X_1,\,\tau_1),\,(X_2,\,\tau_2),\,\dots,\,(X_n,\,\tau_n)</math> 都是[[拓扑空间]]，若對任意[[自然数]]指標 <math>j \leq n</math> 來說，以下的投影映射 <math>\pi_j</math>：

: <math> \pi_j: \prod^{n}_{i=1} X_i \to x(j)  </math>
: <math> \pi_{j}(a_1,\,a_2,\,\dots,\,a_n) = a_j  </math>

對於 <math> \prod^{n}_{i=1} X_i  </math> 上的「自然[[拓扑空间#开集系|拓扑]] 」<math>\tau_\pi</math> ，取任意開集 <math>O_j \in \tau_j</math> 應滿足：

: <math>{(\pi_j)}^{-1}(O_j) \in \tau_\pi</math>

也就是說，<math> \pi_j  </math> 都應 <math>\tau_{\pi}</math>-<math> \tau_j  </math> [[拓扑空间#连续映射与同胚|连续]]。那從 <math> \pi_j  </math> 的定義，對任意 <math> p = (p_1,\,p_2,\,\dots,\, p_n)  </math> 有：

: <math>\left[p \in {(\pi_j)}^{-1}(O_j)\right]
\Leftrightarrow
(\forall i \in \N)
\left\{
    (p_i \in X_i)
    \wedge
    (p_j \in O_j)
\right\}   </math>

換句話說，這個「自然拓撲」必須滿足：

: <math>{(\pi_j)}^{-1}(O_j) = X_1 \times \dots \times X_{j-1} \times O_j \times X_{j+1} \times \dots \times X_n \in \tau_\pi </math> （<math>1 < j \leq n</math>）
: <math>{(\pi_j)}^{-1}(O_1) = O_1 \times X_2 \times \dots \times X_n \in \tau_\pi </math>

那稍微推廣一下，對任意滿足以下條件的[[单射|一對一]]有限開集[[序列]]：

: <math>V:\N \to \bigcup \{\tau_1,\,\tau_2,\,\dots,\,\tau_n\} </math>
: <math>V(i) = V_i \in \tau_i</math>

要求：

: <math>\prod^{n}_{i=1} V_i = V_1 \times \dots \times V_n \in \tau_\pi </math> 

那因為 <math>X_i \in \tau_i</math> （母集合當然是開集合），這樣要求的確可以推得稍早要求的「自然拓撲」條件；反過來，因為：

: <math>V_i = V_1 \times \dots \times V_n = \bigcap^{n}_{j=1} X_1 \times \dots \times X_{j-1} \times V_j \times X_{j+1} \times \dots \times X_n  </math>

所以根據開集的有限交集也是開集的性質，「自然拓撲」條件也可以得到剛剛的推廣要求。綜上所述，可以作如下的定義：

{{Math theorem
| name = 定義
| math_statement = 設 <math>(X_1,\,\tau_1),\,(X_2,\,\tau_2),\,\dots,\,(X_n,\,\tau_n)</math> 都是[[拓扑空间]]，取：

: <math>\mathcal{C}
=
\left\{
\prod^{n}_{i=1} V_i \,\Bigg|\,
V_i \in \tau_i
\right\}
 </math>

那在 <math> \prod^{n}_{i=1} X_i  </math>  上包含 <math>\mathcal{C}</math> 的[[拓撲比較#最粗拓撲|最粗拓撲]] <math>\tau_{\pi}</math> 被稱為 <math> \prod^{n}_{i=1} X_i  </math>  的'''有限積拓撲'''，而 <math> \left(\prod^{n}_{i=1} X_i,\, \tau_\pi\right)  </math> 被稱為相應的'''有限積空間'''。
}}
== 例子 ==

从[[实直线]]'''R'''上的标准拓扑开始，定义''n''份'''R'''的乘积，就得到普通的'''R'''<sup>''n''</sup>上的[[欧几里得拓扑]]。

[[康托尔集]][[同胚]]于[[可数]]个[[离散空间]]{0,1}的乘积而[[无理数]]的空间同胚于可数个[[自然数]]集的乘积，每个集合也是采用离散拓扑。

== 性質 ==
如果 ''B''<sub>1</sub>,''B''<sub>2</sub>,...,''B<sub>n</sub>'' 是拓撲 ''T''<sub>1</sub>,''T''<sub>2</sub>,...,''T<sub>n</sub>'' 的基，則[[笛卡爾積|集合積]] ''B''<sub>1</sub> × ''B''<sub>2</sub> × ... × ''B<sub>n</sub>'' 是[[積空間|乘積拓撲]] ''T''<sub>1</sub> × ''T''<sub>2</sub> × ... × ''T<sub>n</sub>'' 的基。在無限乘積的情況下這仍適用，除了出現有限多個基元素之外全部都必須是整個空間之外。

乘积空间''X''加上标准投影，可以用如下的[[泛性质]]来刻划：若''Y''是拓扑空间，并且对于每个''I''中的''i''，''f<sub>i</sub>'' : ''Y'' → ''X<sub>i</sub>''是一个连续映射，则存在''恰好一个''连续映射''f'' : ''Y'' → ''X''满足对于每个''I''中的''i''如下[[交换图]]成立：
[[File:CategoricalProduct-02.png|center|乘积空间的特性]]
这表明乘积空间是[[拓扑空间范畴]]中的[[积 (范畴论)|积]]。从上述泛性质可以得出映射''f'' : ''Y'' → ''X''连续[[当且仅当]]''f<sub>i</sub>'' = ''p<sub>i</sub>'' o ''f''对于所有''I''中的''i''连续。在很多情况下，检查分量函数''f<sub>i</sub>''的连续性更为方便。检验映射''f'' : ''Y''→ ''X''是否连续通常更难；可以试着用某种方式利用''p<sub>i</sub>''连续这一点。

除了连续，标准投影''p<sub>i</sub>'' : ''X'' → ''X<sub>i</sub>''也是[[开映射]]。这表示每个积空间的开子集投影到''X<sub>i</sub>''上还是开集。反过来不真：若''W''是到所有''X<sub>i</sub>''的投影都是开集的积空间的[[子空间]]，则''W''不一定是''X''中的开集。（例如，''W'' = '''R'''<sup>2</sup> \ (0,1)<sup>2</sup>.）标准投影通常不是[[闭映射]]。

积拓扑有时称为''点式收敛拓扑''，因为：''X''上的一个[[序列]] （或者[[网 (数学)|网]]）收敛当且仅当它所有到''X''<sub>''i''</sub>的投影收敛。特别是，如果考虑所有在空间''X'' = '''R'''<sup>''I''</sup> 对于所有''I''上的[[实数|实]]值[[函数]]，在积拓扑上的收敛就是函数的点式收敛。

积拓扑的一个重要定理就是[[吉洪诺夫定理]]：任何[[紧致空间]]的乘积是紧致的。对于有限乘积很容易證明，而其一般情况等价于[[选择公理]]。

== 和其它拓扑概念的联系 ==
* 可分离性
** 每个[[T0空間|T<sub>0</sub>空间]]的积是T<sub>0</sub>的。
** 每个[[T1空間|T<sub>1</sub>空间]]的积是T<sub>1</sub>的。
** 每个[[豪斯多夫空间]]的积是豪斯多夫的。
** 每个[[正则空间]]的积是正则的。
** 每个[[吉洪诺夫空间]]的积是吉洪诺夫空间。
** [[正规空间]]的积''不一定''是正规的。
* 紧致性
** 每个紧致空间的积是紧致的（[[吉洪诺夫定理]]）
** [[局部紧致空间]]的积''不一定''是局部紧致的。
* 连通性
** 每个[[连通性|连通]]（路径－连通）空间是连通的（路径－连通的）。
** 每个遗传性不连通空间的积是遗传性不连通的。

每个"局部看起来"一个标准投影''F'' × ''U'' → ''U''的空间称为[[纤维丛]]。

== 参看 ==
* [[盒拓扑]]
* [[不交并 (拓扑学)]]
* [[商空间]]
* [[子空间拓扑]]

{{点集拓扑}}

[[Category:点集拓扑学|J]]
[[Category:二元運算|J]]