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{{微积分学}}
'''积分符号内取微分'''（{{lang-en|Leibniz integral rule}}，莱布尼茨积分法则）是一个在[[数学]]的[[微积分]]领域中很有用的运算。它是说，给定如下积分

:<math>F(x, a(x), b(x))=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt</math>,

如果在<math>\,x_0\leq x\leq x_1\,</math>时

<math>f(x,t)\,</math> 与 <math>\frac{\partial}{\partial x}\,f(x,t)\,</math> 对<math>t\,</math> 和 <math>x\,</math> 在<math>(t,x)\,</math> 平面连续,  <math>a(x)\leq t\leq b(x)\,</math>, <math>x_0\leq x\leq x_1\,</math>, 且若对于<math>x_0\leq x\leq x_1\,</math>, <math>a(x)\,</math> 与 <math>b(x)\,</math> 及其导数连续，

那么当 <math>\,x_0\leq x\leq x_1\,\,</math>时，
根据[[全微分]]公式和[[微积分基本定理]]，
该积分对<math>x</math>的导数为

:<math>
\begin{align}
\frac{d}{dx}\,F(x, a(x), b(x))
&= \left(\frac{\partial F}{\partial b}\right)\frac{db}{dx} + \left(\frac{\partial F}{\partial a}\right)\frac{da}{dx} 
+ \frac{\partial F}{\partial x}
\\
&= f(x,b(x))\,b'(x) - f(x,a(x))\,a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x}\, f(x,t)\; dt\,
\end{align}
</math>

注意<math>- f(x,a(x))\,a'(x)</math>项的负号来源于[[#定理的证明|对积分下限求导]]。

如果 <math>a(x)</math> 和 <math>b(x)</math> 是常数而不是 <math>x</math> 的 [[函数]]，那么此时的特殊情况可看做交换积分和求导的顺序：

:<math>\frac{d}{dx} \left(\int_{a}^{b} f(x,t)\,dt \right)= \int_{a}^{b}\frac{\partial}{\partial x} f(x,t) \,dt.</math>



== 高维情况 ==
<math>\frac{d}{dt} \int_{D(t)} F(\vec{\textbf x}, t) \,dV = \int_{D(t)} \frac{\partial}{\partial t} \,F(\vec{\textbf x}, t)\,dV + \int_{\partial D(t)} \,F(\vec{\textbf x}, t)\, \vec{\textbf v} \cdot \vec{\textbf n} \,dA,\,</math>

==定理的证明==
'''引理1''':
::<math>\frac{\partial}{\partial b} \left (\int_a^b f(x)\; \mathrm{d}x \right ) = f(b), \qquad \frac{\partial}{\partial a} \left (\int_a^b f(x)\; \mathrm{d}x \right )= -f(a).</math>

'''证明''':由[[微积分基本定理|微积分基本定理的第一部分]]，加上實際的推導上，偏微分相當於將其他變數視為常數做微分，這樣就有

:<math>\begin{align}
  \frac{\partial}{\partial b} \left (\int_a^b f(x)\; \mathrm{d}x \right ) &= f(b) \\
  \frac{\partial}{\partial a} \left (\int_a^b f(x)\; \mathrm{d}x \right ) &= -\frac{\partial}{\partial a} \left (\int_b^a f(x)\; \mathrm{d}x \right ) \\ &= -f(a) \\
\end{align}</math>
:''<math>\Box</math>''


'''引理2''':
::假设 ''a'' 和 ''b'' 是常数, ''f''(''x'') 涉及常參數 α 的积分，但会形成不同积分.假设函数 ''f''(''x'', α) 在[[紧致集]] {(''x'', α) : α<sub>0</sub> ≤ α ≤ α<sub>1</sub> and ''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b''} 上连续, ''f'' 对 ''α'' 的[[偏导]]  ''f''<sub>α</sub>(''x'', α) 存在且连续, 定义函数<math>\psi  (\alpha)</math> (这里将a和b看做是与 α 无关的常数，即a和b不随 α 的增大而增大 ):

:<math>\psi  (\alpha) = \int_a^b f(x,\alpha)\;\mathrm{d}x.</math>

:<math>\psi  </math> 可以對 <math>\alpha</math> 在积分符号内取微分,即

:<math>\frac{\mathrm{d}\psi  }{\mathrm{d}\alpha}=\int_a^b\frac{\partial}{\partial\alpha}\,f(x,\alpha)\,\mathrm{d}x.\,</math>

'''证明''':由[[海涅－康托尔定理]]，函数<math>f(x,\alpha)</math>在集合中一致连续. 即对任意 ε > 0 ，存在 Δα 使得对任意 ''x'' ∈ [''a'', ''b'']，均有:

:<math>|f(x,\alpha+\Delta \alpha)-f(x,\alpha)|<\varepsilon.</math>

另一方面:

:<math>\begin{align}
\Delta\psi   &=\psi  (\alpha+\Delta \alpha)-\psi  (\alpha) \\
&=\int_a^b f(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x - \int_a^b f(x,\alpha)\; \mathrm{d}x \\
&=\int_a^b \left (f(x,\alpha+\Delta\alpha)-f(x,\alpha) \right )\;\mathrm{d}x \\
&\leq \varepsilon (b-a)
\end{align}</math>

因此 <math>\psi  (\alpha)</math> 是连续函数.

同理， 如果 <math>\frac{\partial}{\partial\alpha}\,f(x,\alpha)</math> 存在且连续, 则对任意 ε > 0 存在 Δα ，使得:

:<math>\forall x \in [a, b] \quad \left|\frac{f(x,\alpha+\Delta \alpha)-f(x,\alpha)}{\Delta \alpha} - \frac{\partial f}{\partial\alpha}\right|<\varepsilon.</math>

因此,

:<math>\frac{\Delta \psi  }{\Delta \alpha}=\int_a^b\frac{f(x,\alpha+\Delta\alpha)-f(x,\alpha)}{\Delta \alpha}\;\mathrm{d}x = \int_a^b \frac{\partial\,f(x,\alpha)}{\partial \alpha}\,\mathrm{d}x + R</math>

这里

:<math>|R| < \int_a^b \varepsilon\; \mathrm{d}x = \varepsilon(b-a).</math>

令 ε → 0 且 Δα → 0, 从而有,

:<math>\lim_{{\Delta \alpha} \rarr 0}\frac{\Delta\psi  }{\Delta \alpha}= \frac{\mathrm{d}\psi  }{\mathrm{d}\alpha} = \int_a^b \frac{\partial}{\partial \alpha}\,f(x,\alpha)\,\mathrm{d}x.\,</math>

证毕.

现在给出定理的证明.
:'''证明''':
:定义函数<math>\varphi(\alpha)</math>，有
:<math>\int_a^b f(x,\alpha)\;\mathrm{d}x=\varphi(\alpha),</math>

这里''a'' 与 ''b'' 是关于 α 的函数，随α的增加分别增加 Δ''a'' 和 Δ''b'',即当 α 增加 Δα时,有

:<math>\begin{align}
\Delta\varphi &=\varphi(\alpha+\Delta\alpha)-\varphi(\alpha) \\
&=\int_{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x\,-\int_a^b f(x,\alpha)\;\mathrm{d}x\, \\
&=\int_{a+\Delta a}^af(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x+\int_a^bf(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x+\int_b^{b+\Delta b}f(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x -\int_a^b f(x,\alpha)\;\mathrm{d}x \\
&=-\int_a^{a+\Delta a}\,f(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x+\int_a^b[f(x,\alpha+\Delta\alpha)-f(x,\alpha)]\;\mathrm{d}x+\int_b^{b+\Delta b}\,f(x,\alpha+\Delta\alpha)\;\mathrm{d}x.
\end{align}</math>

由[[中值定理|积分中值定理]]得 <math>\int_a^bf(x)\;\mathrm{d}x=(b-a)f(\xi),</math> 这里 ''a'' < ξ < ''b'', 从而上式变为

:<math>\Delta\varphi=-\Delta a\,f(\xi_1,\alpha+\Delta\alpha)+\int_a^b[f(x,\alpha+\Delta\alpha)-f(x,\alpha)]\;\mathrm{d}x+\Delta b\,f(\xi_2,\alpha+\Delta\alpha)</math>
:<math>=-\Delta a\,f(\xi_1,\alpha+\Delta\alpha)+\psi (\alpha+\Delta\alpha)-\psi(\alpha)+\Delta b\,f(\xi_2,\alpha+\Delta\alpha)</math>.
上式除以 Δα, 令 Δα → 0, 此时 ξ<sub>1</sub> → ''a'' 且 ξ<sub>2</sub> → ''b'',由'''引理2'''：

:<math>\frac{\mathrm{d}\psi }{\mathrm{d}\alpha} = \int_a^b\frac{\partial}{\partial \alpha}\,f(x,\alpha)\,\mathrm{d}x</math>

和'''引理1'''，得

:<math>\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\alpha} = \int_a^b\frac{\partial}{\partial \alpha}\,f(x,\alpha)\,\mathrm{d}x+f(b,\alpha)\frac{\partial b}{\partial \alpha}-f(a,\alpha)\frac{\partial a}{\partial \alpha}. </math>

定理得证.

== 由富比尼定理证明 ==
<ref>{{Cite web |url=https://math.hawaii.edu/~rharron/teaching/MAT203/LeibnizRule.pdf |title=存档副本 |access-date=2022-10-20 |archive-date=2017-10-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20171031140029/http://math.hawaii.edu/~rharron/teaching/MAT203/LeibnizRule.pdf |dead-url=no }}</ref>由[[富比尼定理]],
:<math>\frac{d}{d y}\left(\int_{c}^{y} \int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial z}(x, z) d x d z\right)=\frac{d}{d y}\left(\int_{a}^{b} \int_{c}^{y} \frac{\partial f}{\partial z}(x, z) d z d x\right)</math>
由[[微积分基本定理]]的第一形式<ref><math>\frac{d}{d t}\left(\int_{a}^{t} f(x) d x\right)=f(t)</math></ref>, 左边等于
:<math>\int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) d x.</math>
由[[微积分基本定理]]的第二形式<ref><math>\int_{a}^{b} F^{\prime}(x) d x=F(b)-F(a)</math></ref>, 右边等于
:<math>\frac{d}{d y}\left(\int_{a}^{b}(f(x, y)-f(x, c)) d x\right).</math>
被积函数的第二部分<math>f (x, c)</math>不含 ''y''，所以它对 ''y'' 的导数是0，所以右边等于
:<math>\frac{d}{d y}\left(\int_{a}^{b} f(x, y) d x\right).</math>
证毕

== 大众文化 ==

积分符号内取微分曾在已故的[[物理学家]][[理查德·费曼]]的最畅销的回忆录《[[别闹了，费曼先生！]]》（在“一个不同的工具箱”一章中）中提到过，他提到他是[[高中]]时从一本旧书《高等微积分》（1926年）中学到的，书的作者是弗雷德里克·S·伍兹（美国[[麻省理工学院]]数学系教授）。这种方法在费恩曼以后接受正规教育时很少被教授。而因为知道这种方法，使得费恩曼在[[普林斯顿大学]]读研究生时能够用其解一些困难的积分问题。《别闹了，费曼先生！》中关于在积分符号内取微分方法的原文如下：

{{cquote|我始终没有学会的是“[[围道积分]]（contour integration）”。高中物理老师贝德先生给过我一本书，我会的所有积分方法，都是从这本书里学到的。
　　事情是这样的：一天下课之后，他叫我留下。“费曼”，他说，“你上课时话太多了，声音又太大。我知道你觉得这些课太沉闷，现在我给你这本书。以后你坐到后面角落去好好读这本书，等你全弄懂了之后，我才准你讲话。”
　　于是每到上物理课时，不管老师教的是帕斯卡定律或是别的什么，我都一概不理。我坐在教室的角落，念伍兹（woods）著的这本《高等微积分学》。贝德知道我念过一点《实用微积分》，因此他给我这本真正的大部头著作——给大学二三年级学生念的教材。书内有傅立叶级数、贝塞尔函数、行列式、椭圆函数——各种我前所未知的奇妙东西。
　　那本书还教你如何对积分符号内的参数求微分。后来我发现，一般大学课程并不怎么教这个技巧，但我掌握了它的用法，往后还一再地用到它。因此，靠着自修那本书，我做积分的方法往往与众不同。
　　结果经常发生的是，我在麻省理工或普林斯顿的朋友被某些积分难住，原因却是他们从学校学来的标准方法不管用。如果那是围道积分或级数展开，他们都懂得怎么把答案找出；现在他们却碰壁了。这时我便使出“积分符号内取微分”的方法——这是因为我有一个与众不同的工具箱。当其他人用光了他们的工具，还没法找到解答时，便把问题交给我了！}}

== 另见 ==

== 参考文献 ==

[[Category:微积分]]


费曼积分法——积分符号内取微分：http://spaces.ac.cn/index.php/archives/1615/ {{Wayback|url=http://spaces.ac.cn/index.php/archives/1615/ |date=20120628140416 }}