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{{微積分學}}
'''积分因子'''（{{lang-en|integrating factor}}）是一种用来解[[微分方程]]的方法。

==方法==

考虑以下形式的微分方程：

:<math>y'+a(x)y = b(x)......(1)</math>

其中<math>y = y(x)</math>是<math>x</math>的未知函数，<math>a(x)</math>和<math>b(x)</math>是给定的函数。

我们希望把左面化成两个函数的乘积的导数的形式。

考虑函数<math>M(x)</math>。我们把(1)的两边乘以<math>M(x):</math>

:<math>M(x)y' + M(x)a(x)y = M(x)b(x)......(2)</math>

如果左面是两个函数的乘积的导数，那么：

:<math>(M(x)y)' = M(x)b(x)......(3)</math> 

两边积分，得：

:<math>y(x) M(x) = \int  b(x) M(x)\,dx + C,</math>

其中<math>C</math>是一个[[常数]]。于是，

:<math>y(x) = \frac{\int  b(x) M(x)\, dx + C}{M(x)}.\,</math>

为了求出函数<math>M(x)</math>，我们把(3)的左面用[[乘法定则]]展开：

:<math>(M(x)y)' = M'(x)y + M(x)y' = M(x)b(x).\quad\quad\quad</math> 

与(2)比较，可知<math>M(x)</math>满足以下微分方程：

:<math>M'(x) = a(x)M(x)......(4)\,</math>

两边除以<math>M(x)</math>，得：

:<math>\frac{M'(x)}{M(x)}-a(x) = 0......(5)</math>

等式(5)是[[对数导数]]的形式。解这个方程，得：

:<math>M(x)=e^{\int a(x)\,dx}.</math>

我们可以看到，<math>M'(x) = a(x)M(x)</math>的性质在解微分方程中是十分重要的。<math>M(x)</math>称为'''积分因子'''。

==例子==

解微分方程

:<math>y'-\frac{2y}{x} = 0.</math>

我们可以看到，<math>a(x) = \frac{-2}{x}</math>：

:<math>M(x)=e^{\int a(x)\,dx}</math>

:<math>M(x)=e^{\int \frac{-2}{x}\,dx} = e^{-2 \ln x} = {(e^{\ln x})}^{-2} = x^{-2} </math>

:<math>M(x)=\frac{1}{x^2}.</math>

两边乘以<math>M(x)</math>，得：

:<math>\frac{y'}{x^2} - \frac{2y}{x^3} = 0</math>
:<math>\left(\frac{y}{x^2}\right)' = 0</math> 

或

:<math>\frac{y}{x^2} = C</math>

可得

:<math>y(x) = Cx^2.</math>

==一般的应用==

积分因子也可以用来解非线性微分方程。例如，考虑以下的非线性二阶微分方程：

:<math>\frac{d^2 y}{d t^2} = A y^{2/3}</math>

可以看到，<math>\tfrac{d y}{d t}</math>是一个积分因子：

:<math>\frac{d^2 y}{d t^2} \frac{d y}{d t} = A y^{2/3} \frac{d y}{d t}.</math>

利用[[复合函数求导法则]]，可得：

:<math>\frac{d}{d t}\left(\frac 1 2 \left(\frac{d y}{d t}\right)^2\right) = \frac{d}{d t}\left(A \frac 3 5 y^{5/3}\right)</math>

因此

:<math>\left(\frac{d y}{d t}\right)^2 = \frac{6 A}{5} y^{5/3} + C_0</math>

利用[[分离变量法]]，可得：

:<math>\int \frac{d y}{\sqrt{\frac{6 A}{5} y^{5/3} + C_0}} = t + C_1,</math>

这就是方程的通解。

==参见== 
* [[微分方程]]
* [[乘法定则]]
* [[全微分]]

==参考文献==
*Adams, R. A. Calculus: A Complete Course, 4th ed. Reading, MA: Addison Wesley, 1999. 

[[Category:常微分方程]]