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在[[數學]]的[[群論]]中，一個[[群]]''G''的'''秩'''rank(''G'')，是''G''的各個[[群的生成集合|生成集合]]中最小的[[勢]]，也就是

:<math> \operatorname{rank}(G)=\min\{ |X|: X\subseteq G, \langle X\rangle =G\}.</math>

若''G''是[[有限生成群]]，則''G''的秩是非負整數。

群的秩這個群論概念，類似於[[向量空間的維數]]。事實上，如果''P''是[[p-群]]，那麼群''P''的秩，等於[[向量空間]]''P''/Φ(''P'')的維數，其中Φ(''P'')是''P''的[[弗拉蒂尼子群]]。

==例子==
*對非平凡群''G''，rank(''G'')=1當且僅當''G''是[[循環群]]。
*對[[自由阿貝爾群]]<math>\mathbb Z^n</math>，有<math> {\rm rank}(\mathbb Z^n)=n</math>。
*若''G''是有限非阿貝爾[[單群]]，則rank(''G'') = 2。這是從[[有限單群分類]]得出的結果。
*若''G''是[[有限生成群]]，Φ(''G'') ≤ ''G''是''G''的弗拉蒂尼子群（Φ(''G'')一定是''G''的正規子群，故此商群''G''/Φ(''G'')可定義），則rank(''G'') = rank(''G''/Φ(''G''))。<ref name="Robinson">D. J. S. Robinson. ''A course in the theory of groups'', 2nd edn, Graduate Texts in Mathematics 80 (Springer-Verlag, 1996). ISBN 0-387-94461-3</ref>
*若<math>G=\langle x_1,\dots, x_n| r=1\rangle</math>是[[單關係元群]]，''r''不是自由群''F''(''x''<sub>1</sub>,..., ''x''<sub>''n''</sub>)的本原元，即''r''不在''F''(''x''<sub>1</sub>,..., ''x''<sub>''n''</sub>)的某個自由基之內，則rank(''G'')&nbsp;=&nbsp;''n''。<ref>[[Wilhelm Magnus]], ''Uber freie Faktorgruppen und freie Untergruppen Gegebener Gruppen'', Monatshefte für Mathematik, vol. 47(1939), pp. 307–313. </ref><ref>[[Roger Lyndon|Roger C. Lyndon]] and Paul E. Schupp. Combinatorial Group Theory. Springer-Verlag, New York, 2001. "Classics in Mathematics" series, reprint of the 1977 edition. ISBN 978-3-540-41158-1; Proposition 5.11, p. 107</ref>

==參考==
{{reflist}}

==參見==
*[[秩 (阿貝爾群)|阿貝爾群的秩]]

[[分類:群論]]