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[[數學]]上，一個[[可微映射]]''f'' : ''M'' &rarr; ''N''在一點''p''的'''秩'''，是''f''的[[前推 (微分)|導函數]]的[[秩 (線性代數)|秩]]。映射''f''在點''p''的導數是一個[[線性映射]]
:<math>d_p f : T_p M \to T_{f(p)}N\,</math>
從點''p''的[[切空間]]到點''f''(''p'')的[[切空間]]。因為是[[向量空間]]之間的線性映射，故其秩有明確定義，即是''T''<sub>''f''(''p'')</sub>''N''的[[像]]的[[維數]]：
:<math>\operatorname{rank}(f)_p = \dim(\operatorname{im}(T_p f)).</math>
==常秩映射==

可微映射''f'' : ''M'' &rarr; ''N''稱為有'''常秩'''，落''f''的秩在''M''中每一點''p''都相同。常秩映射有一些很好的性質，是[[微分拓撲]]中的重要概念。

有三類特別的常秩映射：一個常秩映射''f'' : ''M'' &rarr; ''N''是
*[[浸入]]，若rank ''f'' = dim ''M''（導函數處處[[單射]]）；
*[[浸沒]]，若rank ''f'' = dim ''N''（導函數處處[[滿射]]）；
*[[局部微分同胚]]，若rank ''f'' = dim ''M'' = dim ''N''（導函數處處[[雙射]]）。

以上的條件只牽涉到''f''的導函數的性質，不要求映射''f''是單射、滿射或雙射。例如有一些映射是單射卻非浸入，或是浸入卻非單射。不過若''f'' : ''M'' &rarr; ''N''是常秩光滑映射，則
* 若''f''是單射，則是浸入；
* 若''f''是滿射，則是浸沒；
* 若''f''是雙射，則是[[微分同胚]]。

常秩映射可以用[[圖冊 (數學)|局部座標系]]得出一個好的描述。設''M''和''N''是光滑流形，維數分別為''m''和''n''，映射''f'' : ''M'' &rarr; ''N''是光滑映射，並有常秩''k''。那麼對''M''中每一點''p''，都存在以''p''為中心的局部座標(''x''<sup>1</sup>, ..., ''x''<sup>''m''</sup>)，及以''f''(''p'')為中心的局部座標(''y''<sup>1</sup>, ..., ''y''<sup>''n''</sup>)，使得''f''用這些座標可以表示為：
:<math>f(x^1,\ldots,x^m) = (x^1,\ldots, x^k,0,\ldots,0)\,</math>

==參考==

*{{cite book | first = John | last = Lee | year = 2003 | title = Introduction to Smooth Manifolds | url = https://archive.org/details/introductiontosm0000leej | series = Graduate Texts in Mathematics '''218''' | location = New York | publisher = Springer | isbn = 978-0-387-95495-0}}


{{DEFAULTSORT:Z秩 (微分拓撲)}}
[[分類:微分拓撲學]]