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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
'''秩—零化度定理'''（{{lang-en|Rank–nullity theorem}}）是[[线性代数]]中的一个[[定理]]，给出了一个[[线性变换]]或一个[[矩阵]]的[[矩阵的秩|秩]]和它的[[零空间|零化度]]之间的关系。对一个元素在[[域 (數學)|-{zh-cn:域; zh-tw:體;}-]]<math>\mathrm{F}</math>中的<math>m \cdot n</math>矩阵<math>\mathrm{A}</math>，秩－零化度定理说明，它的秩（rank A）和零化度（nullity A）之和等于<math>n</math>：
:<math>\operatorname{rank} \mathrm{A} + \operatorname{nullity} \mathrm{A} =  n.</math>

同样的，对于一个从<math>F-</math>[[线性空间]]<math>\mathrm{V}</math>射到<math>\mathrm{F}-</math>[[线性空间]]<math>\mathrm{W}</math>的[[线性变换]] <math>\mathrm{T} \; : \; \; \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{W} </math>， <math>\mathrm{T}</math>的秩是它的象的[[维度]]，<math>\mathrm{T}</math>的零化度是它的[[核 (矩阵)|核]]（[[零空间]]）的维度。我们有：
: <math>\operatorname{dim} (\operatorname{Im} \mathrm{T}) + \operatorname{dim} (\operatorname{Ker} \mathrm{T}) = \operatorname{dim} \mathrm{V}</math>
:也就是：
:<math>\operatorname{rank} \mathrm{T} + \operatorname{nullity} \mathrm{T} =  \operatorname{dim} \mathrm{V}.</math>

实际上定理在更广的范围内也成立，因为<math>\mathrm{V}</math>和<math>\mathrm{F}</math>可以是无限维的。

==证明==
证明的方法基于[[线性空间]]的[[基 (線性代數)|基]]和[[同构]]。

设<math>\mathrm{V}</math>是一个有限维线性空间，其维度<math>\operatorname{dim} \mathrm{V} = n</math>。对一个从<math>\mathrm{V}</math>射到<math>\mathrm{F}</math>的线性变换<math>\mathrm{T}</math>，它的[[核 (矩阵)|核]]<math>\operatorname{Ker} \mathrm{T}</math>是<math>\mathrm{V}</math>的一个子空间。设 <math> \mathfrak{B}_k = \left( e_1, e_2 \cdots , e_p \right)  </math>是<math>\operatorname{Ker} \mathrm{T}</math>的一组基（<math>p \leqslant n</math>）。根据[[基扩充定理]]，<math> \mathfrak{B}_k </math>可以被扩充为<math>\mathrm{V}</math>的一组基：<math> \mathfrak{B} = \left( e_1, e_2 \cdots , e_n \right)  </math>。除了<math> \mathfrak{B}_k </math>的<math>p</math>个向量以外，另外的<math>n-p</math>个向量<math> \left( e_{p+1}, \cdots , e_n \right) </math>是一组[[线性无关]]的向量。设<math>\mathrm{H}</math>是它们张成的子空间，那么<math>\mathrm{V}</math>是子空间<math>\operatorname{Ker} \mathrm{T}</math>与<math>\mathrm{H}</math>的[[直和]]：
:<math> \mathrm{V} = \operatorname{Ker} \mathrm{T} \oplus \mathrm{H} </math> 
所以，按照直和的性质，有<math>\operatorname{dim} (\mathrm{H}) + \operatorname{dim} (\operatorname{Ker} \mathrm{T}) = \operatorname{dim} \mathrm{V}</math>，并且这两个子空间的交集为<math> \operatorname{Ker} \mathrm{T} \cap \mathrm{H} = \left\{ 0 \right\} </math>。同时，<math> \forall u \in \mathrm{V},</math> 都可以写成<math>\ u = a + b </math>的形式，其中<math>a \in ker(\mathrm{T}), \; b \in \mathrm{H} </math>。考虑<math>\mathrm{T}</math>限制在<math>\mathrm{H}</math>上到<math>\operatorname{Im} \mathrm{T}</math>的线性变换<math>\mathrm{T}_{\mathrm{H}}</math>：
: <math>
\begin{align}\mathrm{T}_{\mathrm{H}} : \mathrm{H} & \rightarrow \operatorname{Im} \mathrm{T} \\
u & \mapsto \mathrm{T}(u) 
\end{align}
</math>

下证<math>\mathrm{T}_{\mathrm{H}}</math>是一个同构。首先由于<math>\mathrm{T}</math>是线性映射，所以<math>\mathrm{T}_{\mathrm{H}}</math>是线性映射。只需证明它也是双射：
:# <math>\mathrm{T}_{\mathrm{H}}</math>是一个[[单射]]，因为<math> \forall u,v \in \mathrm{H} </math>， <math> \mathrm{T}(u)=\mathrm{T}(v) \Rightarrow \mathrm{T}(u-v)=0 \Rightarrow u-v \in \mathrm{H} \cap \operatorname{Ker} \mathrm{T} \Rightarrow u-v=0 \Rightarrow u=v  </math>。
:# <math>\mathrm{T}_{\mathrm{H}}</math>是一个[[满射]]，因为<math> \forall v \in \operatorname{Im} \mathrm{T} </math>， <math> \exists u \in \mathrm{V},</math>使得<math>\ v = \mathrm{T}(u) </math>，而且<math> u = a+b </math> ，其中<math>a \in \operatorname{Ker} \mathrm{T} ,\ b \in \mathrm{H}  </math>。 于是 <math> v =\mathrm{T}(u)= \mathrm{T}(a+b)=\mathrm{T}(a)+\mathrm{T}(b)\ =\mathrm{T}(b) </math>，其中<math>b \in \mathrm{H}</math>，所以<math>\mathrm{T}_{\mathrm{H}}</math>是一个[[满射]]。 

既然<math>\mathrm{T}_{\mathrm{H}}</math>是一个<math>\mathrm{H}</math>到<math>\operatorname{Im} \mathrm{T}</math>的[[同构]]，那么
:<math>\operatorname{dim} (\mathrm{H} ) = \operatorname{dim}( \operatorname{Im} \mathrm{T}).</math>
:综上所述，即有：
:<math>\operatorname{dim} ( \operatorname{Im} \mathrm{T}) + \operatorname{dim} ( \operatorname{Ker} \mathrm{T}) = \operatorname{dim} ( \mathrm{V}),</math>
:也就是：
:<math>\operatorname{rank} \mathrm{T} + \operatorname{nullity}  \mathrm{T} = \operatorname{dim} ( \mathrm{V}).</math>{{r|gtm135|page1=59}}

== 其他表达形式及推广 ==
正合列

秩-零化度定理是[[抽象代数]]中的[[同态基本定理]]在[[线性空间]]上的表现形式。如果用更现代的语言，定理可以表示为：如果
:0 &rarr; ''U'' &rarr; ''V'' &rarr; ''R'' &rarr; 0
:是线性空间中的一个[[正合列|短正合列]]，那么有：
:dim(''U'') + dim(''R'') = dim(''V'')
:其中 ''R'' 表示 im ''T''， ''U'' 表示  ker ''T''。

在有限维的情况下，上式可以作进一步推广。如果 
:0 &rarr; ''V''<sub>1</sub> &rarr; ''V''<sub>2</sub> &rarr; ... &rarr; ''V''<sub>''r''</sub> &rarr; 0
:是有限维线性空间中的一个[[正合列]]，那么有：
:<math>\sum_{i=1}^r (-1)^i\dim(V_i) = 0.</math>

在有限维线性空间中，秩-零化度定理还可以用线性变换的'''指标'''（index）描述。线性变换的'''指标'''指的是，对于线性变换''T'' : ''V'' &rarr; ''W''：
:index ''T'' = dim(ker ''T'') - dim(coker ''T'')
:其中 coker ''T'' 表示 ''T'' 的[[餘核]]。正如 ker ''T'' 表示方程 ''Tx'' = 0 线性獨立的解的“个数”， coker ''T'' 表示使得方程 ''Tx'' = ''y'' 有解而必须加于 ''y'' 的限制条件的个数。

这时秩-零化度定理表述为：
:index ''T'' = dim(''V'') - dim(''W'')

可以看到，在这种表述下，我们可以很容易地得到 ''T'' 的指标，而不必对 ''T'' 作深入研究。更深入的结果可以参见[[阿蒂亞－辛格指標定理]]。阿蒂亞－辛格指標定理说明某些微分算子的指标可以通过涉及的空间的几何性质得到。

==参见==

*[[线性空间]]
*[[矩阵的秩|秩]]
*[[同构基本定理]]

==参考资料==
{{reflist|refs=
<ref name="gtm135">{{cite book|author=Steven Roman|title=''Advanced Linear Algebra''|url=https://archive.org/details/advancedlinearal0000roma_b4n5|year=2005|publisher=Springer(GTM135, Edition II)|isbn=9780387247663}}</ref> 
}}

[[Category:线性代数定理|Z]]