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{{noteTA
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{{Unreferenced |time=2010-02-11T15:38:29+00:00 }}

[[File:False Coin Problem.gif|thumb|400px|10個硬幣中找出伪幣的解題動畫。這例子中伪幣的重量比其他硬幣輕。]]
'''称球问题'''，是指若在最多{{sfrac|3<sup>''n''</sup> &minus; 3|2}}个球中有一个特殊球的重量与众不同（不知道偏重还是偏轻），而其他球的重量全部相同，则用无砝码的天平称n次可以找出特殊球，并确定特殊球是偏轻还是偏重；
如果有{{sfrac|3<sup>''n''</sup> &minus; 1|2}}个球，则同样可以保证找出特殊球，但不一定能确定特殊球是偏轻还是偏重。(n ≥ 2)

以下主要介绍最简单的12个球称3次的版本。

==动态称法==
动态调整称球方案是最常见的处理手法，在各种答案中，下表所列是其中的一种表述：
{| border="1" cellpadding="3" cellspacing="1" style="text-align:center;"
| colspan="2" |第一次称球情况
| colspan="2" |第二次称球情况
| colspan="2" |第三次称球情况
| 结论
|-
| rowspan="24" |首先<br />左1、2、3、4<br>右5、6、7、8
| rowspan="8" |若左重
| rowspan="8" |其次<br />左1、5、9：右2、3、6
| rowspan="2" |若左重
| rowspan="2" |最后<br />左4：右1 || 若平衡 || 则6轻
|-
| 若右重 || 则1重
|-
| rowspan="3" |若平衡
| rowspan="3" |最后<br />左4、8：右1、2 || 若左重 || 则4重
|-
| 若平衡 || 则7轻
|-
| 若右重 || 则8轻
|-
| rowspan="3" |若右重
| rowspan="3" |最后<br />左4、8：右2、5|| 若左重 || 则5轻
|-
| 若平衡 || 则3重
|-
| 若右重 || 则2重
|-
| rowspan="8" |若平衡
| rowspan="8" |其次<br />左9、11：右2、10
| rowspan="3" |若左重
| rowspan="3" |最后<br />左9、10：右1、2 || 若左重 || 则9重
|-
| 若平衡 || 则11重
|-
| 若右重 || 则10轻
|-
| rowspan="2" |若平衡
| rowspan="2" |最后<br />左4：右12 || 若左重 || 则12轻
|-
| 若右重 || 则12重
|-
| rowspan="3" |若右重
| rowspan="3" |最后<br />左9、10：右1、2|| 若左重 || 则10重
|-
| 若平衡 || 则11轻
|-
| 若右重 || 则9轻
|-
| rowspan="8" |若右重
| rowspan="8" |其次<br />左1、5、9：右2、3、6
| rowspan="3" |若左重
| rowspan="3" |最后<br />左8、9：右2、5 || 若左重 || 则2轻
|-
| 若平衡 || 则3轻
|-
| 若右重 || 则5重
|-
| rowspan="3" |若平衡
| rowspan="3" |最后<br />左4、8：右1、2 || 若左重 || 则8重
|-
| 若平衡 || 则7重
|-
| 若右重 || 则4轻
|-
| rowspan="2" |若右重
| rowspan="2" |最后<br />左4：右1|| 若左重 || 则1轻
|-
| 若平衡 || 则6重
|}
最后给出的结论，判断依据与下述的固定称法的解释完全一致。<br />

==固定称法==
固定称法方案如下：

*第一次称：左盘放置1、2、3、4号球， 右盘放置5、6、7、8号球
*第二次称：左盘放置1、5、9、11号球，右盘放置2、3、6、10号球
*第三次称：左盘放置4、8、9、10号球，右盘放置1、2、5、12号球

按此方案称球，根据天平的状态，可辨别出问题球。判断如下：
*若左重、左重、右重，判定是1号球重；若左轻、左轻、右轻，判定是1号球轻；
*若左重、右重、右重，判定是2号球重；若左轻、右轻、右轻，判定是2号球轻；
*若左重、右重、平衡，判定是3号球重；若左轻、右轻、平衡，判定是3号球轻；
*若左重、平衡、左重，判定是4号球重；若左轻、平衡、左轻，判定是4号球轻；
*若右重、左重、右重，判定是5号球重；若右轻、左轻、右轻，判定是5号球轻；
*若右重、右重、平衡，判定是6号球重；若右轻、右轻、平衡，判定是6号球轻；
*若右重、平衡、平衡，判定是7号球重；若右轻、平衡、平衡，判定是7号球轻；
*若右重、平衡、左重，判定是8号球重；若右轻、平衡、左轻，判定是8号球轻；
*若平衡、左重、左重，判定是9号球重；若平衡、左轻、左轻，判定是9号球轻；
*若平衡、右重、左重，判定是10号球重；若平衡、右轻、左轻，判定是10号球轻；
*若平衡、左重、平衡，判定是11号球重；若平衡、左轻、平衡，判定是11号球轻；
*若平衡、平衡、右重，判定是12号球重；若平衡、平衡、右轻，判定是12号球轻。

在此說明第一種情況（左重、左重、右重）的判斷方法：
* 第一次左重，划掉9、10、11、12，剩下1、2、3、4、5、6、7、8可疑
* 第二次左重，划掉4、7、8，剩下1、2、3、5、6可疑
* 第一、二次均左重，划掉2、3、5，剩下1、6可疑
* 第三次右重，划掉6，仅剩1，可判定重。
同理，若左轻、左轻、右轻，判定是1号球轻。其餘依此類推。，

==数学方法==
固定称球方法，可以采用数学方程式来表达：<math>AX=Y</math>，其中：
<math>
A=
\left( 
\begin{matrix}
1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0 & 0 \\
1 & -1 & -1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 \\
-1 & -1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
\end{matrix}  
\quad
\begin{matrix}
0 & 0 \\
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{matrix}
\right)
,
</math>
<math>
X=
\begin{pmatrix}
x_1\\x_2\\\vdots\\x_{12}
\end{pmatrix}
,
Y=
\begin{pmatrix}
y_1\\y_2\\y_3
\end{pmatrix}
</math>

矩阵方程是用天平称球的情况描述，即：左盘总重量—右盘总重量＝差值，下面进一步解释A、X、Y的含义及判定规则。

首先：因为在12个球中，只有1个球与其它球重量不一样，所以在逻辑上使用±1来代表重量差±△X。

其次：A为3行12列矩阵，系数矩阵的第i行第j列元素表示第i次第j号球的位置。1代表小球被放在左盘，-1代表小球被放在右盘，0代表小球不参与称重。

* X为12行1列矩阵，表示12个球的重量；
* Y为3行1列矩阵，表示3次称球的结果。左盘比右盘重时，用1表示；左右盘平衡时，用0表示；左盘比右盘轻时，用-1表示。

最后：当Y与A的第j列相等时，则判定为第j球重；当Y与A的第j列的负向量相等时，则判定为第j球轻。 

[[Category:數學問題|C]]