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在[[交換代數]]中，'''Cohen-Macaulay環'''是對應到一類[[代數幾何]]性質（例如局部等維性）的[[交換環]]。

此概念依數學家[[弗朗西斯·索尔比·麦考利]]（{{lang|en|Francis Sowerby Macaulay}}）與[[欧文·索尔·科恩]]（{{lang|en|Irvin S. Cohen}}） 命名，麦考利（1916年）證明了[[多項式環]]的'''純粹性定理'''，科恩（1946年）則證明了[[冪級數]]環的情形；事實上所有Cohen-Macaulay環都具純粹性。

==形式定義==
若交換[[局部環]] <math>(R,\mathfrak{m})</math> 滿足 <math>\mathrm{depth}_\mathfrak{m}(R) = \dim R</math>，其中 depth 表[[深度 (模論)|深度]]而 dim 表[[克鲁尔维数]]，則稱之為'''Cohen-Macaulay環'''。此性質在[[局部化]]之下不變。

一般而言，若交換環 <math>R</math> 對所有[[素理想]]的局部化皆為Cohen-Macaulay環，則稱之為'''Cohen-Macaulay 環'''。

若一個[[概形]]的所有局部環皆為Cohen-Macaulay環，稱之為'''Cohen-Macaulay概形'''。

==例子==
* [[正則局部環]]皆為 Cohen-Macaulay 環。
* [[Gorenstein環]]皆為 Cohen-Macaulay，其中重要的特例是[[完全交環]]。
* [[有理奇點]]對應到 Cohen-Macaulay 環，卻不一定是 Gorenstein 環。
* [[阿廷環]]皆為 Cohen-Macaulay 環。
* 設 <math>k</math> 為[[体 (数学)|域]]，[[冪級數]]環 <math>k[[t]]</math> 的一維子環 <math>k[[t^2,t^5]]</math> 並非正則環，而仍屬 Gorenstein 環。
* 承上，<math>k[[t^3, t^4, t^5]]</math> 並非 Gorenstein 環，而仍屬 Cohen-Macaulay 環。
* 一般而言，任何一維的諾特[[整環]]都是 Cohen-Macaulay 環。

==幾何詮釋==
Cohen-Macaulay 條件的一種詮釋見諸[[凝聚對偶性]]，其中模的「對偶化對象」本屬於某個[[導範疇]]，當考慮的環是 Cohen-Macaulay 環時，該對象可由某個模代表。[[Gorenstein環|Gorenstein 條件]]則更精細，它斷言此對偶對象由[[可逆層]]代表。[[正則局部環|正則性]]最強，它對應於[[交換環譜]]在該點的平滑性。就幾何觀點，Gorenstein  與 Cohen-Macaulay 條件是平滑性的逐步推廣，在此框架下可以證明較廣的幾何定理。

==純粹性定理==
設 <math>R</math> 為[[諾特環]]，<math>I \subset R</math> 為其[[理想 (環論)|理想]]。若對每個 <math>R/I</math> 的[[相伴素理想]] <math>\mathfrak{p}</math> 皆有 <math>\mathrm{ht}(I)=\mathrm{ht}(\mathfrak{p})</math>，則稱 <math>I</math> 為'''純粹'''的。若每個能由 <math>\mathrm{ht}(I)</math> 個元素生成之理想 <math>I</math> 都是純粹的，則稱 <math>R</math> 滿足'''純粹性定理'''。一個諾特環 <math>R</math> 滿足純粹性定理若且唯若它是 Cohen-Macaulay 環。

==文獻==
* Winfried Bruns; Jürgen Herzog, ''Cohen-Macaulay rings''. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1 
*I.S. Cohen,   [http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9947%28194601%2959%3A1%3C54%3AOTSAIT%3E2.0.CO%3B2-C '' On the structure and ideal theory of complete local rings'']  Trans. Amer. Math. Soc. , 59  (1946)  pp. 54–106
*{{springer|id=c/c022970|author=V.I. Danilov|title=Cohen-Macaulay ring}}
* David Eisenbud, ''Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry'' (Springer), ISBN 0-387-94268-8 (hardcover), ISBN 0-387-94269-6 (soft cover)
*F.S. Macaulay,   ''The algebraic theory of modular systems'' , Cambridge Univ. Press  (1916)

==外部連結==
* {{springer|id=C/c022970|title=Cohen–Macaulay ring|author=V.I. Danilov}}
*[http://mathworld.wolfram.com/Cohen-MacaulayRing.html MathWorld 頁面] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/Cohen-MacaulayRing.html |date=20200629040515 }}

[[Category:代數幾何|K]]
[[Category:交換代數|K]]
[[Category:环论]]