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{{NoteTA |G1=Math}}
{{unreferenced|time=2018-12-15T11:41:50+00:00}}
在[[拓扑学]]和相关[[数学]]领域中，'''离散空间'''指一种特别简单的[[拓扑空间]]或相似的结构，在其中点都在特定意义下是相互[[孤点|孤立]]的。

离散拓扑是可以在集合上给出的[[拓扑比较|最精细的]]拓扑。离散拓扑中的每个子集都是[[开集]]，因此每个[[单元素集合|单子集]]也都是[[开集]]。

== 定义 ==
给定集合''X'':

*在''X''上的'''离散拓扑'''是通过''X''的所有[[子集]]是[[开集]]（因此也是[[闭集]]）而定义的。如果''X''配备了它的离散拓扑，则''X''组成了'''离散拓扑空间'''；
*在''X''上的'''离散[[一致空间|一致]]'''是通过令''X''&nbsp;× ''X''中的对角集<math>\{(x,x) : x \in X\}</math>的所有[[子集]]为[[周围 (拓扑学)|周围]]（entourage）而定义的。如果''X''配备了它的离散一致，则''X''组成了'''离散一致空间'''；
*在''X''上的'''离散[[度量空间|度量]]'''<math>\rho</math>定义为
:<math>\forall x,\ y\in X,\ \rho(x,y) =
\left\{\begin{matrix}
1 &\mbox{if}\ x\neq y , \\
0 &\mbox{if}\ x = y
\end{matrix}\right.
</math>。这时，<math>(X,\rho)</math>被称为'''离散度量空间'''或'''[[孤点]]空间'''；

*给定拓扑空间<math>(Y, \tau)</math>的'''离散子空间'''是指<math>(Y, \tau)</math>的拓扑子空间（<math>Y</math>的子集与<math>(Y, \tau)</math>的子空间拓扑），其拓扑等于离散拓扑。例如，若<math>Y := \R</math>具有通常的欧几里得拓扑结构，那么<math>S = \left\{\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \ldots\right\}</math>（赋予了子空间拓扑）就是<math>\R</math>的离散子空间，而<math>S \cup \{0\}</math>不是；

*<math>\forall x \in S,\ \exists \delta>0</math>（取决于<math>x</math>），使得<math>\forall y \in S\setminus\{x\},\ d(x,y) > \delta</math>，且这样的集合由[[孤点]]组成，则[[集合 (数学)|集合]]<math>S</math>在[[度量空间]]<math>(X,d),</math>中是离散的；

*集合<math>S \subseteq X</math>，若<math>\exists \varepsilon > 0</math>，使得<math>\forall</math>离散的<math>x, y \in S, d(x, y) > \varepsilon</math>，则集合<math>S</math>在[[度量空间]]<math>(X,d),\ </math>中'''一致离散'''。
若<math>\exists </math>某个堆积半径（Packing Radius）<math>r > 0,\ \forall x,y \in E,\ </math>要么有<math>x=y</math>要么有<math>d(x,y)>r</math>，则称度量空间<math>(E,d)</math>是'''[[一致离散集]]'''。<ref>{{cite book | zbl=0982.52018 | last=Pleasants | first=Peter A.B. | chapter=Designer quasicrystals: Cut-and-project sets with pre-assigned properties | editor1-last=Baake | editor1-first=Michael | title=Directions in mathematical quasicrystals | location=Providence, RI | publisher=[[American Mathematical Society]] | series=CRM Monograph Series | volume=13 | pages=95–141 | year=2000 | isbn=0-8218-2629-8 }}</ref>度量空间之下的拓扑空间可以是离散的，而没有一致离散的度量：例如在实数的集合<math>\left\{2^{-n} : n \in \N_0\right\}</math>上的平常度量。

{{math proof|title=离散空间不一定一致离散的证明| proof =
令<math display="inline">X = \left\{2^{-n} : n \in \N_0 \right\} = \left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots\right\}</math>，以实数的平常度量考虑该集合。由于<math>\forall x_n = 2^{-n} \in X</math>，都可以用开区间<math>(x_n - \varepsilon, x_n + \varepsilon)</math>（其中<math>\varepsilon = \tfrac{1}{2} \left(x_n - x_{n+1}\right) = 2^{-(n+2)}</math>）包围之，则<math>X</math>是离散空间。因此，交集<math>\left(x_n - \varepsilon, x_n + \varepsilon\right) \cap X</math>完全是单元素集<math>\{x_n\}</math>。由于实数开集与<math>X</math>的交对诱导拓扑来说也是开的，所以<math>\{x_n\}</math>是开集，单元素集也是开集，<math>X</math>是离散空间。

然而，<math>X</math>不是一致离散的。设<math>\exists r > 0</math>，使得只要<math>x \neq y</math>就有<math>d(x,y) > r</math>，则只需证<math>X</math>中至少有<math>x</math>、<math>y</math>两点比<math>r</math>更近即可。由于相邻点<math>x_n</math>与<math>x_{n+1}</math>的间距为<math>2^{-(n+1)}</math>，我们需要找到满足此式的<math>n</math>：

<math display=block>\begin{align}
               2^{-(n+1)} &< r \\
                        1 &< 2^{n+1}r \\
                   r^{-1} &< 2^{n+1} \\
\log_2\left(r^{-1}\right) &< n+1 \\
               -\log_2(r) &< n+1 \\
           -1 - \log_2(r) &< n
\end{align}</math>

由于总有<math>n</math>大于任何给定实数，因此<math>X</math>中总有至少两点的间距小于<math>\forall r>0</math>，因此<math>X</math>不一致连续。
}}
== 性质 ==

离散度量空间基本的一致性是离散一致，而离散一致空间基本的拓扑是离散拓扑。因此，离散空间的不同概念是相互兼容的。另一方面，非离散一致空间或度量空间基本的拓扑可以是离散的，一个例子是度量空间<math>X = \{n^{-1} : n \in \N\}</math>（度量继承自实[[数轴]]，由<math>d(x,y) = \left|x - y\right|</math>给出）。这不是离散度量，这个空间也不[[完备空间|完备]]，因此作为一致空间不离散，但作为拓扑空间是离散的。我们称''X''是“拓扑离散”而非“一致离散”或“度量离散”。
此外还有:

*离散空间的[[拓扑维数]]为0。

*拓扑空间是离散的，当且仅当它的[[单元素集合]]是[[开集]]，也就是当且仅当其不含任何[[极限点]]。

*单元素集合形成了这个离散拓扑的[[基 (拓扑学)|基]]。
*一致空间''X''是离散的，当且仅当对角集<math>\{(x,x) : x \in X\}</math>是[[周围 (拓扑学)|周围]]。
*所有离散拓扑空间都满足[[分离公理]]；特别地，所有离散空间都是[[豪斯多夫空间]]。
*离散空间是[[紧致空间]]，当且仅当它是[[有限集合|有限]]的。
*所有离散一致空间或度量空间都是[[完备空间]]。
*组合上两个性质，所有离散一致空间或度量空间都是全有界的，当且仅当它是有限的。
*所有离散度量空间都[[有界空间|有界]]。
*所有离散空间都是[[第一可数空间]]，并且离散空间是[[第二可数空间]]当且仅当它是[[可数集合|可数]]的。
*所有离散空间都是[[完全不连通空间]]。
*所有非空离散空间都是[[贫集]]。
*任何两个同[[势 (数学)|势]]的离散空间都[[同胚]]。

*任何离散空间都可度量（通过离散度量）。
*有限空间可度量，当且仅当其离散。
*若<math>X</math>是拓扑空间，<math>Y</math>是携带离散拓扑的集合，则<math>X</math>被<math>X \times Y</math>均匀覆盖（投影映射是所需的覆盖）。
*作为实[[数轴]]子集的[[整数]]上的[[子空间拓扑]]是离散拓扑。
*离散空间可分，当且仅当其可数。
*实数集<math>\mathbb{R}</math>的任何拓扑子空间（具有通常的[[欧几里得拓扑]]）都必然[[可数集|可数]]。{{sfn | Wilansky | 2008 | p=35}}

从离散拓扑空间到另一个拓扑空间的任何函数都[[连续函数 (拓扑学)|连续]]，从离散一致空间到另一个一致空间的任何函数都[[一致连续]]。就是说，在拓扑空间和连续映射范畴中，或在一致空间和一致连续映射范畴内，离散空间''X''是集合''X''上的[[自由对象]]。这些性质是更广泛现象的实例，即离散结构通常自由于集合上。

对于度量空间，情况更加复杂，因为依赖于所选择的[[态射]]有很多度量空间范畴。态射都（一致）连续时，离散度量空间当然是自由的，但这并未表现度量[[数学结构|结构]]的特性，只针对了一致或拓扑结构。若将态射限制为[[利普希茨连续]]映射或[[短映射]]，便可以找到与度量结构更有关的范畴；但这些范畴在包含多个元素时没有自由对象。然而，离散度量空间在[[有界度量空间]]和利普希茨连续映射范畴内是自由的，且在以1为界的度量空间和短映射范畴内也是自由的。就是说，从离散度量空间到另一个有界度量空间的任何函数都是利普希茨连续的，而任何从离散度量空间到另一个以1为界的度量空间的任何函数都是短映射。
从另一个方向看，从拓扑空间''Y''到离散空间''X''的函数''f''是连续的，当且仅当它是[[局部常数函数]]，即''Y''的每个点都有函数值为常数的[[邻域]]时。

非空集<math>X</math>上的每个[[超滤子 (集合论)|超滤子]]<math>\mathcal{U}</math>都可以与<math>X</math>上的拓扑<math>\tau = \mathcal{U} \cup \left\{ \varnothing \right\}</math>相关联，其性质是：<math>X</math>的每个非空真子集<math>S</math>要么[[开集|开]]要么[[闭集|闭]]。换句话说，每个子集都是开集或闭集，但（与离散拓扑相反）唯二既是开集又是闭集（即[[闭开集]]）的只有<math>\varnothing</math>和<math>X</math>。作为对比，离散拓扑中，<math>X</math>的所有子集都是闭开集。
== 例子与用途 ==

离散结构常常用作不带任何其他自然拓扑、一致或度量的集合的“默认结构”。离散结构常用作检验特定假设的“极端”例子。例如，将离散拓扑结构赋予任何[[群 (数学)|群]]，都可将其视作[[拓扑群]]，这意味着拓扑群相关的理论适用于所有群。实际上，分析学家更可能指被代数学家称为“[[离散群]]”的平凡非拓扑群。有时这一点会有很好的应用，例如结合[[庞特里亚金对偶性]]时。

0维[[流形]]（或微分、或解析流形）就只是离散可数拓扑空间（不可数离散空间不是第二可数空间）。由此，我们可以把任何离散可数群视作0维[[李群]]。

尽管离散空间从拓扑学的角度看没有什么令人兴奋的，但却可以从它们构造有趣的空间。例如，[[可数无限]]多个[[自然数]]离散空间的[[乘积拓扑|积]]与[[无理数]]空间[[同胚]]，这里的同胚由[[连分数]]展开给出。可数无限多个离散空间[[2|<math>\{0,1\}</math>]]的积与[[康托尔集]]同胚；事实上如果在积上应用积一致结构，则它与康托尔集是[[一致同构]]的，这种同构通过数字的[[三进制]]表示·给出（见[[康托尔空间]]）。局部单射函数的每个[[纤维 (数学)|纤维]]都必然是其[[定义域]]的离散子空间。

在[[数学基础]]中，对<math>\{0,1\}</math>积[[紧空间|紧性]]的研究是[[超滤子原理]]（等同于[[布尔素理想定理]]）的拓扑方法的核心，而超滤子原理是[[选择公理]]的弱形式。
== 不可分空间 ==
{{main|密着拓扑}}
在某种意义上，离散拓扑的对立是[[密着拓扑]]（也称为“不可分拓扑”），具有最少可能数目的开集（即[[空集]]和空间自身）。离散拓扑面向始对象或自由对象，而密着拓扑面向终对象或[[余自由]]对象：所有从拓扑空间到密着空间的函数都是连续的。
==参见==
* [[圆柱集合]]

* [[曼哈顿距离]]
== 参考文献 ==
{{reflist}}
<!--See http://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Footnotes for an explanation of how to generate footnotes using the <ref(erences/)> tags-->
<references />
* {{cite book | last1=Steen | first1=Lynn Arthur | author1-link=Lynn Arthur Steen | last2=Seebach | first2=J. Arthur Jr. | author2-link=J. Arthur Seebach, Jr. | title=[[Counterexamples in Topology]] | edition=2nd | year=1978 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=3-540-90312-7 | mr=507446 | zbl=0386.54001 }}

{{点集拓扑}}
[[Category:拓扑学]]

[[Category:点集拓扑学|L]]

[[Category:拓扑空间]]

[[Category:拓扑空间性质]]