查看“︁离散程度”︁的源代码

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在统计学里，'''离散程度'''（{{lang-en|statistical dispersion}}，scatter，spread）或'''离散度'''，又稱'''统计变异性'''（statistical variability）<ref>贺睿杰. 统计活动视角下的高中生统计学习研究[D]. 华东师范大学, 2020.</ref>，简称 '''變異'''、'''變差'''（variation）、'''变率'''，是指一个[[概率分布|分布]]或[[随机变量]]的拉伸或压缩程度<ref>{{cite web|last1=NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods|title=1.3.6.4. Location and Scale Parameters|url=http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda364.htm|website=www.itl.nist.gov|publisher=U.S. Department of Commerce|access-date=2022-11-14|archive-date=2022-11-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20221114024305/https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda364.htm|dead-url=no}}</ref>。{{clarify|习惯上，“离散”常用来描述数据分布<ref>{{Cite book | author = 米小琴 | title = 统计计算与分析 | publisher = 清华大学出版社有限公司 | date = 2004 | pages = 68-75 | ISBN = 9787302064343}}</ref>，而“變異”（指：變異-{}-數、方-{}-差）更常用来描述[[随机变量]]的变异程度<ref>{{Cite book | author = 安德森 | editor = 王峰 | title = 商务与经济统计 | publisher = 中信出版社 | date = 2003 | pages = 202 | ISBN = 9787800738753}}</ref>。}}用以描述离散程度或變異的量主要有[[方差]]、[[標準差]]、[[變異系数]]和[[四分位距]]等。

离散程度与[[集中趋势]]相对，因此，离散度就是指各个变量值与集中趋势的偏离程度。

== 衡量 ==
衡量离散程度的值，通常是非负[[实数]]：当衡量值取零时，表示分布集中在同一个值上；随着衡量值的增加，随机变量的取值越来越分散。

部分描述离散程度的量是带单位的，并且，这些量的[[计量单位|单位]]与随机变量本身的单位相同。也就是说，如果随机变量的单位是-{zh-hans:米; zh-tw:公尺 ;zh-hk:公尺}-或秒，则这些量的单位也是-{zh-hans:米; zh-tw:公尺; zh-hk:公尺}-或秒。这些量举例如下：

* [[标准差]]
* [[四分位距]]
* [[全距]]
* {{le|平均绝对偏差|Mean_absolute_difference}}
* {{le|绝对差中位数|Median_absolute_deviation}}
* [[平均差]]
* {{le|间隔关系|Distance_correlation}}

此外，也有一些[[无量纲量]]：

* [[變異係數]]
* {{le|四分位離散係數|Quartile_coefficient_of_dispersion}}
* [[基尼系数]]
* [[熵]]

另外，还有一些带单位的量，但是他们的单位和随机变量本身的单位不同：

* [[方差]]
* {{le|离散指数|Index_of_dispersion}}

== 可解释性 ==
变差的可解释性，通常是对于一个随机变量而言的。当[[观测]]到随机变量的一些取值（例如[[训练集]]中的标签可视作是一个随机变量的一些观测值），需要推断随机变量服从的分布时，就会遇到这个问题。一般而言，推断有限观测值的随机变量服从的分布的过程，即是建立[[数学模型|模型]]的过程。

假设有随机变量<math>\mathbf X</math>及其服从的真实分布<math>\mathbf X\sim D</math>。则对于该随机变量的观测值，可计算其变差（以方差表示）<math>\text{SS}_{\text{total}} := \text{Var}(\mathbf X)</math>；对于分布，亦可计算其变差<math>\text{SS}_{\text{distribution}} := \text{Var}(D)</math>。则<math>\text{SS}_{\text{distribution}}</math>是相对该随机变量的'''可解释變異'''（英语：explainable variation），其余的部分则是'''不可解释變異'''（英语：unexplainable variation）。为了衡量不可解释變異，可引入'''不可解释變異分数'''（英语：fraction of unexplainable variation）<math>\text{FUV} := 1 - \tfrac{\text{SS}_{\text{distribution}}}{\text{SS}_{\text{total}}}</math>。不可解释變異亦称为'''{{le|统计噪声|statistical_noise}}'''。

假设<math>D'</math>是模型给出的随机变量的分布。则对于该预测分布，我们可以计算器變異（以方差表示）<math>\text{SS}_{\text{model}} := \text{Var}(D')</math>。则<math>\text{SS}_{\text{model}}</math>是该模型相对该随机变量的'''已解释變異'''（英语：explained variation），其余部分则是'''未解释變異'''（英语：unexplained variation）。同样，为了衡量未解释變異，可引入'''未解释變異分数'''（英语：fraction of unexplained variation）<math>\text{FUV} := 1 - \tfrac{\text{SS}_{\text{model}}}{\text{SS}_{\text{total}}}</math>。

== 参考资料 ==
{{Reflist}}

{{統計學}}

[[Category:统计学]]