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'''離散正弦變換'''（DST for Discrete Sine Transform）是一種與[[傅立葉變換]]相關的變換，類似[[离散傅里叶变换|離散傅立葉變換]]，但是只用[[實數]]矩陣。離散正弦變換相當於長度約為它兩倍，一個實數且[[奇函数|奇對稱]]輸入資料的的離散傅立葉變換的虛數部分（因為一個實奇輸入的傅立葉變換為純虛數奇對稱輸出）。有些變型裡將輸入或輸出移動半個取樣。

一種相關的變換是[[离散余弦变换|離散餘弦變換]]，相當於長度約為它兩倍，實[[偶函数]]的[[离散傅里叶变换|離散傅立葉變換]]。參考DCT本文有關邊界條件和不同的DCT和DST關聯的一般討論。

== 應用 ==

離散正弦變換常被用來由譜方法解偏微分方程，這時候離散正弦變換的不同的變數對應著兩端不同的奇/偶邊界條件。

== 定義 ==

形式上，離散正弦變換是一個[[線性函數|線性]]的[[反函數|可逆]][[函數]]<math>F:R^N\rightarrow R^N</math>，其中'''R'''為[[實數]]集，或等價的說是一個<math>N \times N</math> [[方陣]]。離散正弦變換有幾種稍微不同定義的變形，皆根據以下公式之一把<math>N</math>個實數<math>x_0,\ldots ,x_{N-1}</math>變換到另<math>N</math>個實數<math>X_0,\ldots ,X_{N-1}</math>。

=== DST-I ===

:<math>X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \sin \left[\frac{\pi}{N+1} (n+1) (k+1) \right] \quad \quad k = 0, \dots, N-1</math>

一個DST-I矩陣為[[正交矩陣]]（差一個係數）。

<math>N=3</math>的實數''abc''的DST-I變換等價於8點實數''0abc0(-c)(-b)(-a)''（奇對稱）的DFT轉換，再除2（而DST-II~DST-IV等價於DFT有半個取樣的位移）。

因而DST-I對應的邊界條件是：<math>x_n</math>對<math>n = -1</math>奇對稱，也對<math>n = N</math>奇對稱；<math>X_k</math>也類似。

=== DST-II ===

:<math>X_k =
   \sum_{n=0}^{N-1} x_n \sin \left[\frac{\pi}{N} \left(n+\frac{1}{2}\right) (k+1)\right] \quad \quad k = 0, \dots, N-1</math>

=== DST-III ===

:<math>X_k = \frac{(-1)^k}{2} x_{N-1} +
   \sum_{n=0}^{N-2} x_n \sin \left[\frac{\pi}{N} (n+1) \left(k+\frac{1}{2}\right) \right] \quad \quad k = 0, \dots, N-1</math>

=== DST-IV ===

:<math>X_k =
   \sum_{n=0}^{N-1} x_n \sin \left[\frac{\pi}{N} \left(n+\frac{1}{2}\right) \left(k+\frac{1}{2}\right) \right] \quad \quad k = 0, \dots, N-1</math>

一個DST-IV矩陣為[[正交矩陣]]（差一個係數）。

=== DST V-VIII ===

== 反變換 ==

DST-I的反變換是把DST-I乘以<math>\frac{1}{N+1}</math>。
DST-IV的反變換是把DST-IV乘以<math>\frac{2}{N}</math>。
DST-II的反變換是把DST-III乘以<math>\frac{2}{N}</math>，反之亦然。

類似[[离散傅里叶变换|離散傅立葉變換]]，這些定義前面的歸一係數只是習慣，不同人有不同定義。例如有人在變換前面乘<math>\sqrt{\frac{2}{N}}</math>，使反變換和變換在形式上更相似，而不需另外的歸一係數。

== 計算 ==

== 相關條目 ==

*[[离散傅里叶变换|離散傅立葉變換]]
*[[离散余弦变换|離散餘弦變換]]

== 參考資料 ==

*S. A. Martucci, "Symmetric convolution and the discrete sine and cosine transforms," IEEE Trans. Sig. Processing SP-42, 1038-1051 (1994). 
*Matteo Frigo and Steven G. Johnson: FFTW, http://www.fftw.org/ {{Wayback|url=http://www.fftw.org/ |date=20190925140738 }}. A free (GPL) C library that can compute fast DSTs (types I-IV) in one or more dimensions, of arbitrary size. Also M. Frigo and S. G. Johnson, "The Design and Implementation of FFTW3," Proceedings of the IEEE 93 (2), 216–231 (2005). 

== 外部連結 ==

* [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&name=DiscreteSineTransform 離散正弦變換] {{Wayback|url=http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&name=DiscreteSineTransform |date=20160306225153 }}

[[Category:數字信號處理]]
[[Category:变换编码]]