查看“︁离散时间信号”︁的源代码

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{{Expert|subject=电子学|time=2021-08-27}}
{{Unreferenced|time=2021-07-01T09:32:59+00:00}}
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'''离散时间信号'''的（时间）自变量仅在离散时刻有定义。大多数离散时间信号是由对连续时间信号[[采样]]得到的。取值上可以仍然取连续值。

信号可以以时间序列表示。对于一维信号，以两个[[向量]]方式表示，例如
:n = [-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3]
:x = [2, 1.2, -3.6, 0, 1, 4, 6.3]
更高维的信号也可以用多维向量表示。

==基本信号==
===单位脉冲序列=== 
:<math>\delta(k)=\left\{\begin{matrix}1,&\mbox{if }k=0\\0,&\mbox{if }k\not=0\end{matrix}\right.</math>

由數學式可見該序列僅在k=0處取單位值，其餘點均為零，因此又稱「單位取樣序列」、「單位樣本函數」或「單位脈衝序列」等。

單位序列的作用類似於連續時間信號中的'''<math>\delta(t)</math>'''，也具有抽樣性，即為：

<math>\mathcal{f}(k)\delta(k)=\mathcal{f}(0)\delta(k)</math>

<math>\mathcal{f}(k)\delta(k-m)=\mathcal{f}(m)\delta(k-m)</math>

<math>\mathcal{f}(k)\delta(k+m)=\mathcal{f}(-m)\delta(k+m)</math>

但是<math>\delta(k)</math>和<math>\delta(t)</math>有本質上的差別：<math>\delta(t)</math>是一個奇異信號，可理解為一個在t=0處幅度無窮大,寬度無窮小且面積為1的脈衝，實際上無法實現。但是<math>\delta(k)</math>是一個非奇異信號，它在k=0處取有限值1，這在實際工程上是可以實現且存在的。

===单位阶跃序列===
:<math>\mu(k)= \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{if }k \ge 0 \\ 0, & \mbox{if }k<0 \end{matrix}\right.</math>

由數學式可見單位階躍序列類似於連續時間信號中的單位階躍函數<math>\mu(t)</math>，它也具有切除性。可將一個雙邊序列截為一個單邊序列。同樣<math>\mu(k)</math>和<math>\mu(t)</math>有本質上的差別：<math>\mu(t)</math>是一個奇異信號，它在t=0處發生階躍，μ(0<sup>-</sup>)=0，μ(0<sup>+</sup>)=1；而<math>\mu(k)</math>是一種非奇異信號，它在t=0處明確定義為1。

單位脈衝序列與單位階躍序列有密切的關係。

單位脈衝序列是單位階躍序列的一次後向差分，即為：

<math>\delta(k)=\mu(k)-\mu(k-1)</math>

而單位階躍序列是單位脈衝序列的求和，即為：

<math>\mu(k)=\sum_{n=-\infty}^k \delta(n)=\sum_{m=0}^\infty \delta(k-m)</math>

===離散複指數信號===
在系統分析中，離散複指數信號<math>e^{jk\omega}</math>是一個非常重要的基本信號，在序列的傅立葉分析含離散系統的頻率特性中得到廣泛的應用。它的作用相當於在連續信號和連續系統的[[傅立葉分析]]所用到的基本信號<math>e^{jt\Omega}</math>

離散複指數信號 <math>\mathcal{f}(k)=e^{jk\omega}</math>

由[[尤拉公式]]可得 <math>\mathcal{f}(k)=e^{jk\omega}=\cos \omega k+j\sin \omega k</math>

實部表示離散餘弦序列，虛部為離散正弦序列。

===單邊實指數序列===
實指數序列是指序列值隨序列變化按指數規律變化的離散時間信號，常用的實指數序列為單邊實指數序列，當<math>\mathsf{k}<0</math>時，<math>\mathcal{f}(k)=0</math>，即
<math>\mathcal{f}(k)=a^{k}\mu(k)</math>，
若<math>\left\vert a \right\vert>1</math>，信號隨k指數增長，序列呈現發散；若<math>\left\vert a \right\vert<1</math>，換句話說當<math>\mathcal{a}</math>介於0至1之間時，則信號隨<math>\mathcal{k}</math>指數衰減，序列呈現收斂。另外，若<math>\mathcal{a}</math>為正數時，信號的樣值不改變符號；若<math>\mathcal{a}</math>為負數時，信號的樣值符號交替變化。若<math>\mathcal{a}=1</math>，則<math>\mathcal{f}(k)=\mu(k)</math>。
如果<math>\mathcal{f}(k)=a^{-k}\mu(k)</math>，則當<math>\left\vert a \right\vert<1</math>時，<math> \mathcal{f}(k)</math>為發散序列；當<math>\left\vert a \right\vert>1</math>時，<math> \mathcal{f}(k)</math>為收斂序列。

===正弦序列===
正弦序列定義為<math>\mathcal{f}(k)=\mathrm{A}\sin (\omega k+\varphi)</math>或<math>\mathcal{f}(k)=\mathrm{A}\cos (\omega k+\theta)</math>，其中<math>\omega</math>為正弦序列的數字角頻率; <math>\mathrm{A}</math>為正弦序列的振福;<math>\varphi</math>或<math>\theta</math>為相移。

對於連續時間正弦信號<math>\mathcal{f}(k)=\mathrm{A}\sin (\Omega t+\varphi)</math>，具有以下兩個性質:

#<math>\Omega</math>越大，信號變化的速率就越快;
#對任何<math>\Omega</math>值，信號都是週期的。對於正弦序列，以上兩項與連續信號相比有很大的不同。

對於離散正弦序列<math>\sin[(\omega+2\pi)\mathcal{k}+\varphi]=\sin(\omega\mathcal{k}+\varphi)</math>，離散正弦序列在頻率<math>\omega+2\pi</math>與頻率<math>\omega</math>時是完全相同的，連續時間正弦信號對於不同的<math>\Omega</math>就對應著不同的信號;而對於頻率為<math>\omega</math>的離散時間正弦信號與頻率為<math>\omega\pm2\pi</math>，<math>\omega\pm4\pi</math>，...這些離散正弦信號是完全相同的。

因此在考慮離散正弦信號時，只需在某個<math>2\pi</math>間隔內選擇頻率就可以。通常選擇<math>0\leqslant\omega < 2\pi</math>或<math>-\pi\leqslant\omega < \pi</math>區間。通過以上的討論可知，離散正弦信號並不是隨<math>\omega</math>的無限增加而無限增加其振盪速率的。事實上，離散正弦序列的振盪速率是隨<math>\omega</math>從0(常數序列)開始增加的，直到<math>\omega=\pi</math>為止，若繼續增加<math>\omega</math>的話，其振盪速率就會下降，直到<math>2\pi</math>(常數序列)為止。因此離散正弦信號的低頻段在<math>\omega</math>為0，<math>\pm 2\pi</math>，<math>\pm 4\pi</math>，...附近：而高頻段在<math>\omega</math>為<math>\pm \pi</math>，<math>\pm 3\pi</math>附近，此時信號在每個點上都改變符號，產生最快速振盪。

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