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数学动力学中，'''离散时间'''与'''连续时间'''是对随时间变化的[[变量]]进行建模的两种可选框架。

==离散时间==
[[Image:Sampled.signal.svg|right|thumb|离散采样信号]]
'''离散时间'''将变量值看做是出现在不同的、独立的“时间点”上，或等同于在每个非零时间段内保持不变，即将时间看做[[离散变量]]。因此，从一个时间段移动到下一个时间段时，非时间变量从一个值跳到另一个值。这种框架下，每个相关变量在每个时间段取1次值，两时间段之间的测量次数有限，通常在时间变量的连续[[整数]]值上进行。

'''离散信号'''或'''离散时间信号'''是由一[[序列|系列]]数量组成的[[时间序列]]。不同于连续时间信号，其不是连续参数的函数，不过也可能是从连续时间信号中[[采样]]所得，间隔均匀的时长采样的话会有相关联的[[采样率]]。

离散时间信号有多种来源，可以分为两类：<ref>"Digital Signal Processing", Prentice Hall - pages 11–12</ref>

* 从常值或变值的[[模拟信号]]取值。此过程称作[[采样]]。<ref>"Digital Signal Processing: Instant access", Butterworth-Heinemann - page 8</ref>
* 观测离散时间过程，如某经济指标的周峰值。

==连续时间==
相对地，'''连续时间'''将变量看作只有在[[无穷小|无穷短]]时间段内才有特定值。任意两时点间，又有无穷多时点。时间变量在整条实[[数线]]上取值，或在取决于具体应用的子集上取值，如非负实数。这时，时间被视作[[连续变量]]。

'''连续信号'''或'''连续时间信号'''是一种变化的[[量 (物理)]]（[[信号]]），其定义域（通常是时间）是[[连续统]]（如[[实数]]的[[连通空间|连通]]区间）。即，函数的定义域是[[不可数集]]，而函数本身不必[[连续函数|连续]]。相对地，[[离散时间]]信号具有[[可数集|可数]]定义域，如[[自然数]]。

连续振幅、连续时间的信号常常称作[[模拟信号]]，在每一瞬间都有一定值。与温度、压力、声音等物理量成比例的电信号一般是连续信号。连续信号的其他例子有正弦波、余弦波、三角波等等。

信号的定义域可能是有限的也可能不是，定义域到信号值有一个泛函映射。时间变量的连续性与[[实数]]密度定律有关，意味着可在任意时间点找到信号值。无限信号的一个典型例子是

:<math>f(t) = \sin(t), \quad t \in \mathbb{R}</math>

其对应的有限时长对应信号可以是

:<math>f(t) = \sin(t), \quad t \in [-\pi,\pi]</math>，否则<math>f(t) = 0</math>。

有限/无限时长信号值可能有限也可能无限，例如

:<math>f(t) = \frac{1}{t}, \quad t \in [0,1]</math>，否则<math>f(t) = 0</math>。

这是有限时长信号，但在<math>t = 0</math>时的值是无限的。

很多学科中，约定俗成的做法是连续信号必须始终有限，这对物理信号来说更有意义。
某些情况下，只要信号在任意有限区间内可积，那么无穷奇点也可以接受（如<math>t^{-1}</math>信号在无穷大时不可积，但<math>t^{-2}</math>可积）。

任何模拟信号本质上都是连续的。用于[[数字信号处理]]的[[离散时间]]信号可从连续信号[[采样]]与[[量化 (信号处理)|量化]]得到。

连续信号也可用时间以外的自变量来定义，常见的如空间，在2维的[[图像处理]]中尤其有用。

==相关背景==
离散时间常用于[[實證]][[度量]]情景，因为通常只能按顺序测量变量。例如，虽然[[经济]]活动实际上是持续进行的，不存在经济活动完全停顿的时刻，但只能对经济活动进行离散测量。因此，诸如[[国内生产总值]]之类数据只能离散地显示一系列季度值。

试图用其他变量和/或变量的先前值解释时，会使用[[时间序列]]或[[回归分析]]方法，当中变量用下标表示观测时段。例如<math>y_t</math>指在''t''时间段内观察到的[[收入]]，<math>y_3</math>是第三个时间段内观察到的收入。

此外，建立理论以解释离散时间内观察到的现象时，为便于建立时间序列或回归模型，通常用离散时间表示理论。

另一方面，连续时间[[科学理论|理论]]模型往往在数学上更容易[[解析解|解]]，而且[[物理学]]等领域中，精确的描述往往需要连续时间。当中，变量''y''在未指定时间点的值表为<math>y(t)</math>，含义明确则简单表为''y''。

==方程类型==
===离散时间===
离散时间使用[[差分方程]]，或称为递推关系。例如[[逻辑斯谛映射]]或逻辑斯谛方程
:<math> x_{t+1} = rx_t(1-x_t),</math>

当中''r''是范围在2到4的[[参数 (数学)|参数]]，''x''是范围在0到1的变量，其在''t''时期的值[[非线性]]地影响''t''+1时期的值。例如，取<math>r=4</math>、<math>x_1 = 1/3</math>，则对于''t''=1有<math>x_2=4(1/3)(2/3)=8/9</math>，对于''t''=2有<math>x_3=4(8/9)(1/9)=32/81</math>。

另一个例子是根据产品的非零超额需求，调整[[价格]]''P''，模型为

:<math>P_{t+1} = P_t + \delta \cdot f(P_t,...)</math>

其中<math>\delta</math>是小于等于1的正调整速度参数，<math>f</math>是[[超额需求函数]]。

===连续时间===
连续时间使用[[微分方程]]。例如，针对产品非零超额需求，调整价格''P''，可以用连续时间建模为

:<math>\frac{dP}{dt}=\lambda \cdot f(P,...)</math>

左式是价格对时间的一阶[[导数]]（即价格变化率），<math>\lambda</math>是调整速度参数，可以是任意有限正数，<math>f</math>是超额需求函数。

==图形描述==
离散时间中测量的变量可绘制为[[阶跃函数]]，当中每个时间段在横轴上都有等长区域，测量变量在单个区域内保持不变，函数图像将是一系列水平阶梯。另一种方法是将时间段视作独立的时间点，通常是水平轴上的整数值，然后将测量变量绘为时间轴点上方的高度，函数图像将是一组点。
连续时间中测量的变量可绘制为[[连续函数]]，因为时间域一般认为是整个实数轴或至少是其上某些连通部分。
==相關條目==
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*[[混叠]]
*[[伯努利过程]]
*[[数码资料]]
*{{le|离散微积分|Discrete calculus}}
*{{le|离散系统|Discrete system}}
*[[离散化]]
*{{le|归一化频率|Normalized frequency (signal processing)}}
*[[采样定理]]
*[[时标微积分]]
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== 参考文献 ==
{{reflist}}

*{{cite book
| author1 = Gershenfeld, Neil A.
| title = The Nature of mathematical Modeling
| url = https://archive.org/details/natureofmathemat0000gers
| publisher = Cambridge University Press
| year = 1999
| isbn = 0-521-57095-6}}

*{{cite book
| author1 = Wagner, Thomas Charles Gordon
| title = Analytical transients
| publisher = Wiley
| year = 1959
}}

[[Category:动力系统]]