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{{傅里叶变换}}
'''离散傅里叶级数'''（DFS）与连续傅立叶级数相比有很大的区别。最大的不同在于离散时间傅里叶级数的系数序列是周期的。

==离散傅里叶级数的公式==
周期为N的周期序列<math>\left\{ a_n\right\}</math>，其离散傅里叶级数为<math>\left\{ x_k \right\}</math>：

<math>x[k]=\sum_{n=<N>} a_n\cdot e^{-in(\frac{2\pi}{N})k}</math>

其中，DFS的逆变换序列：

<math>a_n=\frac{1}{N}\sum_{k=<N>} x[k]\cdot e^{in(\frac{2\pi}{N})k}</math>
（k=<N>表示对一个周期N内的值求和）

==进一步分析==
'''连续周期信号的离散化'''（下面的讨论中，<math>\omega_0=\frac{2\pi}{T}</math>）：
#首先，在[[傅里叶级数]]一文中，我们知道函数<math>f(t)=e^{i(\frac{2\pi}{T})t}</math>是对于任意的T是周期为T的函数，然而其对应的离散信号则不一定是周期的，可以证明，只有当<math>\frac{\omega_0}{2\pi}</math>是有理数时，离散信号f[n]才是周期函数。
#其次，在满足条件1的前提下，连续周期信号<math>f_k(t)</math>对应的离散信号<math>f_k[n]=e^{ik(\frac{2\pi}{N})n}</math>对k也具有周期性，其周期为N,即<math>f_k[n]</math>中只有N个不同的序列。
#从离散时间傅里叶变换的系数公式我们可以看出，<math>a_k</math>也是对k周期为N的函数。
#[[离散傅里叶变换]]实际上是离散时间傅里叶级数在'''主值区间'''上的取值。我们注意到，离散傅里叶变换是对非周期函数f[n]进行的，如果我们对f[n]的定义拓广为周期函数f'[n]：<math>f'[n]=\sum _{i=-\infty}^{+\infty}f(n+i\cdot N)</math>。并且当<math>N\to \infty</math>时，f'[n]实际上就是f[n]，那么我们现在可以求出f'[n]的傅里叶级数。同样，当<math>N\to \infty</math>时无穷级数变成了积分，得到的结果是一个连续的周期函数<math>X(e^{i\omega})</math>（正如[[离散傅里叶变换]]一文中所述），这就是f[n]的'''离散时间傅里叶变换'''。这时，只需在它的'''主值区间'''上采样，就可以得到[[离散傅里叶变换]]的变换序列。

==参阅==
*[[傅里叶级数]]
*[[傅里叶变换]]
*[[离散傅里叶变换]]
*[[离散时间傅里叶变换]]

[[category:数字信号处理|L]]
[[Category:傅里叶级数|L]]