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{{NoteTA
|G1=Physics
}}
[[Image:FokkerPlanck.gif|thumb|存在拖曳和扩散项时，福克-普朗克方程的一个一维解。初始状态为远离零速度的δ函数，随机冲击使其分布逐渐变宽]]
'''福克-普朗克方程'''（'''Fokker–Planck equation'''）描述[[粒子]]在位能場中受到[[隨機]]力後，隨時間演化的[[位置]]或是[[速度]]的[[機率密度函數|分布函數]] <ref>{{Cite book| title = Statistical Physics: statics, dynamics and renormalization| author = Leo P. Kadanoff| publisher = World Scientific| isbn = 9810237642| year = 2000| url = http://books.google.com/?id=22dadF5p6gYC&pg=PA135&dq=Fokker%E2%80%93Planck}}</ref> 。此方程式以[[荷蘭]][[物理]]學家[[阿德里安·福克]]<ref>A. D. Fokker, ''Die mittlere Energie rotierender elektrischer Dipole im Strahlungsfeld'', Ann. Phys. 348 (4. Folge 43), 810–820 (1914).</ref>與[[馬克斯·普朗克]]<ref>M. Planck, Sitz.ber. Preuß. Akad. (1917).</ref>的姓氏來命名。

一維 ''x''方向上,福克-普朗克方程有兩個參數，一是拖曳參數 ''D''<sub>1</sub>(''x'',''t'')，另一是擴散 ''D''<sub>2</sub>(''x'',''t'') 
:<math>\frac{\partial}{\partial t}f(x,t)=-\frac{\partial}{\partial x}\left[ D_{1}(x,t)f(x,t)\right] +\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left[ D_{2}(x,t)f(x,t)\right]. </math>

在<math>N</math> 維空間中的福克-普朗克方程是
:<math>\frac{\partial f}{\partial t} = -\sum_{i=1}^N \frac{\partial}{\partial x_i} \left[ D_i^1(x_1, \ldots, x_N) f \right] + \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \frac{\partial^2}{\partial x_i \, \partial x_j} \left[ D_{ij}^2(x_1, \ldots, x_N) f \right],</math>  <math>x_i</math> 是第<math>i</math>維度的位置，此時 <math>D^1</math>為拖曳[[向量]]，<math>D^2</math>為[[擴散]][[張量]]。

== 其他 ==
<math>\frac{\partial P}{\partial t} = \nabla \cdot (P \nabla V) + D \nabla^2 P</math>

若V=0，则福克-普朗克方程成为[[布朗运动]]

<math>\frac{\partial P}{\partial t} = D \nabla^2 P</math>

==與隨機方程式的關係==
福克-普朗克方程可以用來計算[[隨機過程]]裡[[隨機微分方程|隨機微分方程式]]中[[機率密度函數|分布函數]]的解。

一個受[[隨機]]力的古典粒子，經由[[朗之萬方程式]]可以得到福克-普朗克方程。另外再藉由福克-普朗克方程也可推導[[薛丁格方程式]]<ref>Edward Nelson ,"Derivation of the Schrödinger Equation from Newtonian Mechanics",Phys. Rev. 150, 1079–1085 (1966)</ref>。

==參考資料==
{{Reflist}}

==相關條目 ==
* [[馬克斯·普朗克]]和[[阿德里安·福克]]
* [[朗之萬方程式]]（Langevin equation）
* [[Ornstein–Uhlenbeck过程]]
*[[泛函积分]]
*[[薛定谔方程]]，[[威克轉動]]的福克-普朗克方程

==延伸閱讀==
* Hannes Risken, "The Fokker–Planck equation : Methods of Solutions and Applications", 2nd edition, Springer Series in Synergetics, Springer, ISBN 3-540-61530-X.
*David Tong. Kinetic Theory. Ch. 3. https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/kinetic.html {{Wayback|url=https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/kinetic.html |date=20210424023421 }}
*Scott. Applied Stochastic Processes.

==外部連結==
*[http://jeff560.tripod.com/f.html 福克–普朗克方程式] {{Wayback|url=http://jeff560.tripod.com/f.html |date=20210124165827 }} on the [http://jeff560.tripod.com/mathword.html Earliest known uses of some of the words of mathematics] {{Wayback|url=http://jeff560.tripod.com/mathword.html |date=20090304032905 }}

{{Stochastic processes}}
[[Category:隨機微分方程]]
[[Category:統計力學]]
[[Category:隨機過程]]