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'''祖{{zy|暅|gèng|ㄒㄩㄢ}}原理'''，又名'''等幂等积定理'''<ref name='p34'>{{Cite book|title=《数学演义》|author=王树禾|publisher=科学出版社|ISBN=9787030218377|pages=P34}}</ref>，是指所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等的[[定理]]。祖暅之《[[綴術]]》有-{云}-：「緣冪勢既同，則積不容異<ref>''高红成，王瑞《祖暅原理的形成及其现实教育意义》 出自《商洛师范专科学校学报》2001年04期''</ref>。」

该原理最早由中国古代[[数学家]][[刘徽]]提出<ref name='p34' />。[[南北朝]]时[[祖冲之]]儿子[[祖暅]]再次提出<ref name='p36'>{{Cite book|title=《数学演义》|author=王树禾|publisher=科学出版社|ISBN=9787030218377|pages=P36}}</ref>，兩父子用这原理求出[[牟合方盖]]体积，进而算出[[球 (数学)|球]][[体积]]。17世纪欧洲[[意大利]]数学家[[卡瓦列里]]亦發現相同定理，所以西方文献一般称该原理为'''卡瓦列里原理'''<ref name='p36' /><ref>{{cite web |title=祖暅原理 |url=http://www.hssz.net.cn/xyp/Article_Show.asp?ArticleID=551 |website=数学园地 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20070927185701/http://www.hssz.net.cn/xyp/Article_Show.asp?ArticleID=551 |archive-date=2007-09-27 |accessdate=2007-04-22}}</ref>。

在現代的[[解析幾何]]和[[測度]]應用<!--approach-->中，祖暅原理是[[富比尼定理]]的一個特例。卡瓦列里沒有對這條的嚴謹證明，只發表在1635年的''Geometria indivisibilibus''以及1647年的''Exercitationes Geometricae''，用以證明自己的''Methode der Indivisibilien''。以此方式可以計算某些立體的體積，甚至超越了[[阿基米德]]和[[約翰內斯·克卜勒|克卜勒]]的成績。這定理引發了以面積計算體積的方法並成了[[積分]]發展的重要一步。

== 簡單應用 ==
=== 圓柱體 ===
[[File: Cylinder geometry.svg|thumb|right|100px|圓柱體]]
如果垂直轉軸切開[[圓柱體]]，設r為半徑，可得到橫切面積為<math display="inline">\pi r^2</math>的圓。根據祖暅原理，圓柱體積相等於底面積相等於圓面積<math display="inline">\pi r^2</math>、高h的長方體，所以半徑r和高h的圓柱體積是<math>\pi r^2h</math>。

=== 半球體 ===
{{seealso|圓柱內切球體}}
[[File: Cavalieri_half-ball.svg|thumb|left|垂直（上）以及-{水平}-（下）切開半球體和對照立體]]
從其中一層以垂直表面的高h橫切半徑為r的半[[球體]]，根據[[勾股定理]]，半徑為
: <math>r'=\sqrt{r^2-h^2}</math>
所以橫切面積是
: <math>\pi\cdot(r')^2=\pi\cdot(r^2-h^2)</math>
對照立體是個有與半球體相同橫切面積和高的立體，中間有一圓錐體。高h的對照立體[[環形]]切面有內圓周h及外圓周r，其面積為
: <math>\pi\cdot r^2-\pi\cdot h^2=\pi\cdot(r^2-h^2)</math>
因此兩個立體都滿足祖暅原理並有相同體積。對照立體的體積就是圓柱體和圓錐體體積之差，所以
: <math>\pi\cdot r^2\cdot r-\frac13\cdot\pi\cdot r^2\cdot r=\frac23\pi\cdot r^3</math>
成功利用這條有名的方程計出半球體積，從而導出球體積公式。

== 微積分 ==
[[File: Integral difference function.svg|thumb|right|兩條方程積分後的差與兩條方程式之差的積分]]
祖暅原理背後概念常在[[微積分]]出現。作為維度的一個例子<!-- Ein Beispiel für um eins kleinere Dimensionen-->，因此兩條方程在兩交點間的面積可用以下方程獲得：
:<math>\int_a^b(f(x)-g(x))\,\mathrm dx=\int_a^bf(x)\,\mathrm dx-\int_a^bg(x)\,\mathrm dx</math>
實質上表示了函數f和g間的<math>A_1</math>面積與函數圖形<math>x\mapsto f(x)-g(x)</math>下的<math>A_2</math>相同，而後者的交點距離與前者相等。由於現代數學的積分和-{面}-積的互相關係，而體積可以微分計算，使祖暅原理變得更少用。

== 參考文獻 ==
{{reflist}}
* {{en icon}} [http://galileo.rice.edu/Catalog/NewFiles/cavaleri.html 伽利略計劃：卡瓦列里] {{Wayback|url=http://galileo.rice.edu/Catalog/NewFiles/cavaleri.html |date=20110514104753 }}
* {{en icon}} [http://mathworld.wolfram.com/CavalierisPrinciple.html Cavalieri's Principle -- from Wolfram MathWorld] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/CavalierisPrinciple.html |date=20210427200822 }}

[[Category:祖冲之]]
[[Category:几何定理|Z]]
[[Category:几何学]]
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[[Category:面积]]
[[Category:体积]]