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[[数学]]中，'''示性类'''是将''X''的[[主丛]]与''X''的[[上同调]]类相联系的一种方法。上同调类衡量了丛的“扭曲”程度，表征丛是否有[[截面 (纤维丛)|截面]]；示性类是一种全局[[拓扑不变量]]，衡量了[[定域性原理|局部]]积结构与全局积结构的偏差。它们是通用于[[代数拓扑]]、[[微分几何]]与[[代数几何]]的几何概念之一。

示性类的概念源于1935年Eduard Stiefel与[[哈斯勒·惠特尼]]关于流形上向量场的研究。

==定义==
令''G''为[[拓扑群]]，对拓扑空间''X''，记<math>b_G(X)</math>为''X''上[[主丛|主''G''丛]]的[[同构]]类集合。这个<math>b_G</math>是从'''Top'''（拓扑空间与[[连续函数]]的[[范畴 (数学)|范畴]]）到'''Set'''（[[集合 (数学)|集合]]与[[函数]]的范畴）的[[函子#協變與反變|反变]]函子，将映射<math>f\colon X\to Y</math>发送到[[拉回丛|拉回]]算子<math>f^*\colon b_G(Y)\to b_G(X)</math>。

则主''G''丛的'''示性类'''''c''是<math>b_G</math>到上同调函子<math>H^*</math>的[[自然变换]]，也被视作到'''Set'''的函子。

也就是说，示性类将<math>b_G(X)</math>中的每个主''G''丛<math>P\to X</math>关联到<math>H^*(X)</math>中的一个元素<math>C(P)</math>，这样，若<math>f:\ Y\to X</math>是连续映射，则<math>c(f^*P)=f^*c(P)</math>。左侧是<math>P\to Y</math>的拉回类，右侧是''P''的类在上同调诱导映射下的像。

==示性数==
示性类是上同调群的元素<ref>非正式地说，示性类“生存”在上同调中。</ref>，可从示性类得到整数，称作'''示性数'''。重要的示性数有Stiefel–惠特尼数、[[陈类#陈数|陈数]]、[[庞特里亚金类#庞特里亚金数|庞特里亚金数]]、欧拉性等等。

给定维度为''n''的有向流形''M''，其[[基本类]]<math>[M] \in H_n(M)</math>；''G''丛有示性类<math>c_1,\dots,c_k</math>，就可以把总度数为''n''的示性类与基本类的积匹配起来。不同示性数的个数是示性类中度为''n''的[[单项式]]个数，或等价于将''n''分成<math>\mbox{deg}\,c_i</math>。

形式上，给定<math>i_1,\dots,i_l</math>使<math>\sum \mbox{deg}\,c_{i_j} = n</math>，对应的示性数是：
:<math>c_{i_1}\smile c_{i_2}\smile \dots \smile c_{i_l}([M])</math>

其中<math>\smile</math>表示上同调类的[[上积]]。
它们有不同的记法，有的是示性类的积，如<math>c_1^2</math>；<math>P_{1,1}</math>表示与<math>p_1^2</math>对应的庞特里亚金数，<math>\chi</math>表示欧拉性。

从[[德拉姆上同调]]的角度来看，可以取代表示性类的[[微分形式]]，<ref>据[[陈-韦伊同态]]，这些都是曲率的多项式；据[[霍奇理论]]，可取调和形式。</ref>取楔积，从而得到顶维形式，然后在流形上积分；这类似于在上同调中取积，并与基本类匹配。

这也适于无向流形，有<math>\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}</math>向，这时可得<math>\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}</math>值的示性数，如Stiefel-惠特尼示性数。

示性数解决了有无向的[[配边]]问题：当且仅当两流形的示性数相等时，它们（分别有向或无向）是可配边的（cobordant）。

==动机==
示性类是[[上同调]]论的现象，是凡反变构造，就像[[部分射 (范畴论)|部分射]]是空间''上''的一种函数；而要从部分射的存在引出矛盾，我们确实需要方差。事实上，上同调是在[[同调]]与[[同伦论]]之后发展起来的，而它们都基于到空间的映射的[[协方差]]理论；示性类理论在1930年代的萌芽期（[[阻碍理论]]的一部分）是寻求同调的“对偶”理论的一个主要原因。基于示性类的[[曲率]]不变量方法是华北库库伦、证明一般[[高斯-博内定理]]的一个特殊原因。
1950年前后，这一理论被置于较有组织的基础上时（定义被简化为同伦论），当时已知的最基本示性类（Stiefel-惠特尼类、[[陈类]]、[[庞特里亚金类]]）很明显都是经典线性群及其[[极大环面]]结构的反映。此外，陈类本身也不是新东西，它在[[格拉斯曼流形]]的[[舒伯特积分]]和[[代数几何意大利学派]]的研究中都有所反映。另一方面，现在有了一个框架，只要涉及[[向量丛]]，就能产生示性类。

当时的主要机制似乎是：给定具有向量丛的空间''X''，则对相关线性群''G''，在[[CW复形|同伦范畴]]中有从''X''到[[分类空间]]''BG''的映射。对同伦论来说，相关信息由紧子群（如''G''的[[正交群]]与[[酉群]]）承载。一旦上同调<math>H^*(BG)</math>计算出来，上同调的反变性质就意味着丛的示性类将定义在同维度的<math>H^*(X)</math>中。比如说[[陈类]]，实际上是在偶数维都有分次成分的示性类。

这仍然是经典的解释，不过在给定的几何理论中，考虑额外的结构总是有益的。1955年以来，随着[[K-理论]]和[[配边]]论的建立，上同调变得“非同寻常”，实际上只要在各处改换字母''H''，就能说明示性类是什么。

后来人名发现了[[流形]]的[[叶状结构]]的示性类，它们（在改进的意义上，对其中一部分允许奇点的叶状结构）在[[同伦]]论中有分类空间理论。

在数学与[[物理学]]“和解”之后的工作中，[[西蒙·唐纳森]]和Dieter Kotschick在[[瞬子]]理论中发现了新的示性类。[[陈省身]]的研究与观点也十分重要，详见[[陈-西蒙斯理论]]。

==稳定性==
用[[稳定同伦论]]的语言来说，[[陈类]]、Stiefel–惠特尼类、[[庞特里亚金类]]是稳定的，而[[欧拉类]]不稳定。

具体地说，稳定类是指在添加平凡丛时不发生变化的类：<math>c(V \oplus 1) = c(V)</math>。更抽象地说，这意味着在包含<math>BG(n) \to BG(n+1)</math>（对应包含<math>\mathbf{R}^n \to \mathbf{R}^{n+1}</math>等）之下，<math>BG(n)</math>[[分类空间]]中的上同调类从<math>BG(n+1)</math>中的上同调类拉回。等价地，所有有限示性类都从<math>BG</math>中的稳定类拉回。

欧拉类的情况并非如此，这主要是因为''k''维丛的欧拉类存在于<math>H^k(X)</math>（因此从<math>H^k(BO(k))</math>拉回），所以不能从<math>H^{k+1}</math>中的类拉回，因为维数不同。

==另见==
*[[欧拉示性类]]
*[[陈类]]

== 注释 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* {{cite book|first=Shiing-Shen|last=Chern|authorlink=Shiing-Shen Chern|title=Complex manifolds without potential theory|publisher=Springer-Verlag Press|year=1995|isbn=0-387-90422-0}} {{ISBN|3-540-90422-0}}.
*:The appendix of this book: "Geometry of characteristic classes" is a very neat and profound introduction to the development of the ideas of characteristic classes.
* {{citation|first=Allen|last=Hatcher|authorlink=Allen Hatcher|url=https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VBpage.html|title=Vector bundles & K-theory|accessdate=2023-12-11|archive-date=2022-03-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20220318010817/https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VBpage.html|dead-url=no}}
* {{cite book|first=Dale|last=Husemoller|authorlink=Dale Husemoller|title=Fibre bundles|publisher=McGraw Hill|year= 1966|edition= 3rd Edition, Springer 1993|isbn=0387940871}}
* {{cite book|first1=John W.|last1=Milnor|authorlink1=John Milnor| first2=Jim|last2=Stasheff| authorlink2=James D. Stasheff|title=Characteristic classes|series=Annals of Mathematics Studies|volume=76|publisher=[[Princeton University Press]], Princeton, NJ; [[University of Tokyo Press]], Tokyo|year= 1974|isbn=0-691-08122-0}}

[[Category:上同调]]