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在[[数学]]领域的[[凸分析]]中，集合的“示性函数”为[[凸函数]]，用于表示给定元素是否为该集合的成员（或非成员）。尽管与常规[[示性函数]]定义相似，两者也可以相互转换，但根据如下定义的示性函数更适应于凸分析的方法。

==定义==

假设 <math>A</math> 为[[集合 (数学)|集合]] <math>X</math> 的[[子集]]。 <math>A</math> 的 “示性函数”

:<math>\chi_{A} : X \to \mathbb{R} \cup \{ + \infty \}</math>

在[[擴展實數線]]上的值定义为

:<math>\chi_{A} (x) := \begin{cases} 0, & x \in A; \\ + \infty, & x \not \in A. \end{cases}</math>

==与指示函数的关系==

令 <math>\mathbf{1}_{A} : X \to \mathbb{R}</math> 为一般指示函数：

:<math>\mathbf{1}_{A} (x) := \begin{cases} 1, & x \in A; \\ 0, & x \not \in A. \end{cases}</math>

若采用如下约定
* 对于任意<math>a \in \mathbb{R} \cup \{ + \infty \}</math>， <math>a + (+ \infty) = + \infty</math> 以及 <math>a (+\infty) = + \infty</math>；
* <math>\frac{1}{0} = + \infty</math>；且
* <math>\frac{1}{+ \infty} = 0</math>；

那么，指示函数与示性函数满足如下关系

:<math>\mathbf{1}_{A} (x) = \frac{1}{1 + \chi_{A} (x)}</math>

同时，

:<math>\chi_{A} (x) = (+ \infty) \left( 1 - \mathbf{1}_{A} (x) \right).</math>

==参考文献==
* {{cite book
  | last = Rockafellar
  | first = R. T.
  | authorlink = R. Tyrrell Rockafellar
  | title = Convex Analysis
  | publisher = Princeton University Press
  | location = Princeton, NJ
  | year = 1997
  | origyear = 1970
  | isbn = 978-0-691-01586-6
}}
[[Category:凸分析]]