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{{NoteTA|G1=物理學}}
'''磁矩'''是磁鐵的一種物理性質。處於[[外磁場]]的[[磁鐵]]，會感受到[[力矩]]，促使其磁矩沿外磁場的[[磁場線]]方向排列。磁矩可以用[[向量]]表示。磁鐵的磁矩方向是從磁鐵的[[指南極]]指向[[指北極]]，磁矩的大小取決於磁鐵的磁性與量值。不只是磁鐵具有磁矩，[[載流迴路]]、[[電子]]、[[分子]]或[[行星]]等等，都具有磁矩。

科學家至今尚未發現宇宙中存在有[[磁單極子]]<!-- 2009，人工磁单极子已经被德国的一组研究者成功地制造出来，参见[[磁单极子]] -->。一般[[磁性物質]]的磁場，其[[泰勒展開]]的[[多極展開式]]，由於[[磁單極子]]項目恆等於零，第一個項目是[[磁偶極子]]項、第二個項目是[[磁四極子]]（{{lang|en|quadrupole}}）項，以此类推。磁矩也分為磁偶極矩、磁四極矩等等部分。從磁矩的磁偶極矩、磁四極矩等等，可以分別計算出磁場的磁偶極子項目、磁四極子項目等等。隨著距離的增遠，磁偶極矩部分會變得越加重要，成為主要項目，因此，磁矩這術語時常用來指稱磁偶極矩。有些教科書內，磁矩的定義與磁偶極矩的定義相同<ref name=Jackson1999>{{citation|last=Jackson|first=John David|title=Classical Electrodynamic|publisher = John Wiley & Sons, Inc. |year=1999|location=USA|edition=3rd.|pages=pp. 186|isbn=978-0-471-30932-1}}</ref>。

== 概述 ==
一個載流迴圈的磁偶極矩是其所載[[電流]]乘以迴路面積：
:<math>\boldsymbol{\mu}=I\mathbf{a}\,\!</math>；

其中，<math>\boldsymbol{\mu}\,\!</math>為磁偶極矩，<math>I\,\!</math>為電流，<math>\mathbf{a}\,\!</math>為面積向量。磁偶極矩、面積向量的方向是由[[右手定則]]決定。

處於外磁場的載流迴圈，其感受到的力矩和其[[勢能]]與磁偶極矩的關係為：
:<math>\boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\mu}\times\mathbf{B}\,\!</math>、
:<math>U= - \boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}\,\!</math>；

其中，<math>\boldsymbol{\tau}\,\!</math>為力矩，<math>\mathbf{B}\,\!</math>為磁場，<math>U\,\!</math>為勢能。

許多[[基本粒子]]，例如[[電子]]，都具有[[內稟磁矩]]。這種內稟磁矩是許多巨觀磁場力的來源，許多物理現象也和此有關。這種磁矩和古典物理的磁矩不同，而是和粒子的[[自旋]]有關，必須用[[量子力學]]來解釋。這些內稟磁矩是[[量子化]]的，最小的基本單位，常常稱為「[[磁子]]」（{{lang|en|magneton}}）。例如，電子[[自旋]]的磁矩與[[波耳磁子]]的關係式為：
:<math>\boldsymbol{\mu}_s= - g_s \mu_B \mathbf{S}/\hbar\,\!</math>；

其中，<math>\boldsymbol{\mu}_s\,\!</math>為電子自旋的磁矩，[[電子自旋g因子]]<math>g_s\,\!</math>是一項比例常數，<math>\mu_B\,\!</math>為[[波耳磁子]]，<math>\mathbf{S}\,\!</math>為電子的[[自旋]]，<math>\hbar\,\!</math>是[[約化普朗克常數]]。

== 單位 ==
採用[[國際單位制]]，磁偶極矩的[[因次]]是[[面積]]×[[電流]]。磁偶極矩的單位有兩種等價的表示法：
:1 [[安培]]·公尺<sup>2</sup> = 1 [[焦耳]]／[[特斯拉 (单位)|特斯拉]]。

[[CGS單位制]]又可細分為幾種亞單位制：[[靜電單位制]]（{{lang|en|electrostatic units}}），[[電磁單位制]]（{{lang|en|electromagnetic units}}）、[[高斯單位制]]。

{| class="wikitable"
|+ 磁偶極矩單位轉換表<ref>{{citation| author = Cardarelli, F.
| year = 2004
| title = Encyclopaedia of Scientific Units, Weights and Measures: Their SI Equivalences and Origins
| publisher = Springer
| edition = 2<sup>nd</sup>
| pages = pp. 20–25
| isbn= 1-8523-3682-X
}}</ref>
<br />[[光速]]　''c'' = 29,979,245,800 ≈ 3·10<sup>10</sub></sup>
! 語言 !! 國際單位制!! 靜電單位制 !!電磁單位制 !! 高斯單位制
|-
| 中文|| 1 [[安培]]·公尺<sup>2</sup> = 1 [[焦耳]]／[[特斯拉 (单位)|特斯拉]]|| = (10<sup>3</sup> ''c'') [[靜安培]]·公分<sup>2</sup> || = (10<sup>3</sup>)  [[Abampere|絕對安培]]·公分<sup>2</sup> || = (10<sup>3</sup>) [[爾格]]／[[高斯 (單位)|高斯]]  
|-
| 英文|| 1 [[安培|A]]·[[公尺|m]]<sup>2</sup> =1 [[焦耳|J]]/[[特斯拉 (单位)|T]]|| = (10<sup>3</sup> ''c'') statA·cm<sup>2</sup> || = (10<sup>3</sup>) abA·cm<sup>2</sup>  || = (10<sup>3</sup>) [[爾格|erg]]／[[高斯 (單位)|Gauss]] 
|}
磁偶極矩在電磁單位制與在靜電單位制的比例正好等於單位為公分／秒的[[光速]]。

在這篇文章內，所有的方程式都採用國際單位制。

== 兩種磁源 ==
在任何物理系統裏，磁矩最基本的源頭有兩種：
* [[電荷]]的運動，像電流，會產生磁矩。只要知道物理系統內全部的電流密度分佈（或者所有的電荷的位置和速度），理論上就可以計算出磁矩。
* 像電子、[[質子]]一類的基本粒子會因自旋而產生磁矩。每一種基本粒子的內稟磁矩的大小都是常數，可以用理論推導出來，得到的結果也已經通過做實驗核對至高準確度。例如，電子磁矩的測量值是−9.284764×10<sup>−24</sup>焦耳／特斯拉<ref>美國[[國家標準與技術研究院]]（NIST）的實驗値：[http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?muem  電子磁矩] {{Wayback|url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?muem |date=20100906024420 }}</ref>。磁矩的方向完全決定於粒子的自旋方向（電子磁矩的測量值是負值，這意味著電子的磁矩與自旋呈相反方向）。

整個物理系統的淨磁矩是所有磁矩的向量和。例如，[[氫原子]]的磁場是以下幾種磁矩的向量和：
* 電子的自旋。
* 電子環繞著質子的軌域運動。
* 質子的自旋。

再舉個例子，構成條形磁鐵的物質，其未配對電子的內稟磁矩和軌域磁矩的向量和，是條形磁鐵的磁矩。

== 計算磁矩的方程式 ==
=== 平面迴圈 ===
[[File:LoopCurrentMagneticMoment 300px.png|right|200px|thumb|假設一個平面載流迴圈的面積向量為<math>\mathbf{a}\,\!</math>、所載電流為<math>I\,\!</math>，則其磁偶極矩為<math>\boldsymbol{\mu}=I\mathbf{a}\,\!</math>。]]
對於最簡單的案例，平面載流迴圈的磁偶極矩<math>\boldsymbol{\mu}\,\!</math>是
:<math>\boldsymbol{\mu}=I \mathbf{a}\,\!</math>；

其中，<math>I\,\!</math>是迴圈所載有的恆定電流，<math>\mathbf{a}\,\!</math>是平面迴圈的面積向量。

面積向量和磁偶極矩的方向是由[[右手定則]]給出：令四隻手指朝著電流方向彎曲，伸直大拇指，則大拇指所指的方向即是面積向量的方向，也是磁偶極矩的方向。

這有限面積的載流迴圈還有更高階的磁矩，像磁四極矩，磁八極矩等等。假設載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大，同時保持<math>\boldsymbol{\mu}=I\mathbf{a}\,\!</math>不變，則所有更高階的磁矩會趨向於零，這真實的載流迴圈趨向於理想磁偶極子，或純磁偶極子。

=== 任意迴路 ===
對於任意迴路案例，假設迴路載有恆定電流<math>I\,\!</math>，則其磁偶極矩為
:<math>\boldsymbol{\mu}=I\int_{\mathbb{S}} \mathrm{d} \mathbf{a}\,\!</math>；

其中，<math>\mathbb{S}\,\!</math>是積分曲面，<math>\mathbb{C}\,\!</math>是<math>\mathbb{S}\,\!</math>邊緣的閉合迴路，<math>\mathrm{d} \mathbf{a}\,\!</math>是微小面積元素，<math>\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}\,\!</math>是微小線元素，<math>\mathbf{r}\,\!</math>是<math>\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}\,\!</math>的位置。

引用[[向量恆等式]]
:<math>\int_{\mathbb{S}} \mathrm{d} \mathbf{a}=\frac{1}{2}\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{r}\times\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}\,\!</math>，

即可得到磁偶極矩的路徑積分方程式
:<math>\boldsymbol{\mu}=\frac{I}{2}\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{r}\times\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}\,\!</math>。

=== 任意電流分佈 ===
對於最廣義的任意電流分佈案例，磁偶極矩為
:<math>\boldsymbol{\mu}=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{V}}\mathbf{r}\times\mathbf{J}\ \mathrm{d}V\,\!</math>；

其中，<math>\mathbb{V}\,\!</math>是積分體積，<math>\mathbf{r}\,\!</math>是源電流位置，<math>\mathbf{J}\,\!</math>是[[電流密度]]，<math>\mathrm{d}V\,\!</math>是微小體積元素。

任意一群移動電荷，像旋轉的帶電固體，都可以用這方程式計算出其磁偶極矩。

=== 基本粒子 ===
在[[原子物理學]]和[[核子物理]]學裏，磁矩的大小標記為<math>\mu\,\!</math>，通常測量單位為[[波耳磁子]]或[[核磁子]]（{{lang|en|nuclear magneton}}）。磁矩關係到粒子的自旋，和／或粒子在系統內的軌域運動。以下列表展示出一些粒子的內稟磁矩：

{| class="wikitable"
|+ 一些基本粒子的內稟磁矩和自旋<ref>{{Cite web |url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Results?search_for=+magnetic+moment |title=參閱美國國家標準與技術研究院的'''Fundamental Physical Constants'''網頁： |accessdate=2010-04-10 |archive-date=2009-08-22 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090822191613/http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Results?search_for=+magnetic+moment |dead-url=no }}</ref>
! 粒子!!內稟磁矩（10<sup>−27</sup> [[焦耳]]／[[特斯拉 (单位)|特斯拉]]）!![[自旋量子數]] 
|-
|[[電子]] ||-9284.764||1/2
|-
|[[質子]] ||+14.106067||1/2
|-
|[[中子]] ||-9.66236||1/2
|-
|[[緲子]] ||-44.904478||1/2
|-
|[[重氫]] ||+4.3307346||1
|-
|[[氫-3]] ||+15.046094||1/2
|-
|}

欲知道更多有關於磁矩與磁化強度之間的物理關係，請參閱條目[[磁化強度]]。

== 載流迴路產生的磁場 ==
[[File:Magnetic ring dipole field lines.svg|200px|right|thumb|磁偶極子的[[磁場線]]。從側面望去，磁偶極子豎立於繪圖的中央。]]
載流迴路會在周圍產生磁場。這磁場包括偶極磁場與更高次的多極項目。但是，隨著距離的增遠，這些多極項目會更快速地減小，因此，在遠距離位置，只有偶極項目是磁場的顯要項目。

思考一個載有恆定電流<math>I\,\!</math>的任意局域迴路<math>\mathbb{C}\,\!</math>，其[[磁矢勢]]<math>\mathbf{A}\,\!</math>為
:<math>\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\oint_{\mathbb{C}'}\ \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\,'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\,\!</math>；

其中，<math>\mathbf{r}\,\!</math>是檢驗位置，<math>\mathbf{r}'\,\!</math>是源頭位置，是微小線元素<math>\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\,'\,\!</math>的位置，<math>\mu_0\,\!</math>是[[磁常數]]。

假設檢驗位置足夠遠，<math>r>r'\,\!</math>，則表達式<math>\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\,\!</math>可以[[泰勒展開]]為
:<math>\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}=\frac{1}{r}\sum_{n=0}^{\infty}\ \left(\frac{r'}{r}\right)^n P_n(\cos \theta')\,\!</math>；

其中，<math>P_n(\cos \theta')\,\!</math>是[[勒讓德多項式]]，<math>\theta'\,\!</math>是<math>\mathbf{r}\,\!</math>與<math>\mathbf{r}'\,\!</math>之間的[[夾角]]。

所以，磁矢勢展開為
:<math>\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\ \frac{1}{r^{n+1}}\oint_{\mathbb{C}'}\ (r')^n P_n(\cos \theta') \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\,'\,\!</math>。

思考<math>n=0\,\!</math>項目，也就是磁單極子項目：
:<math>\mathbf{A}_0(\mathbf{r})=\frac{\mu_0 I}{4\pi r}\oint_{\mathbb{C}'}\ \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\,'=0\,\!</math>。

由於閉合迴路的向量線積分等於零，磁單極子項目恆等於零。

再思考<math>n=1\,\!</math>項目，也就是磁偶極子項目：
:<math>\mathbf{A}_1(\mathbf{r})=\frac{\mu_0 I}{4\pi r^{2}}\ \oint_{\mathbb{C}'}\ r' \cos \theta' \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\,'=\frac{\mu_0 I}{4\pi r^{2}}\ ( - \hat{\mathbf{r}}\times \oint_{\mathbb{S}'}\mathrm{d}\mathbf{a}')\,\!</math>。

注意到磁偶極矩為<math>\boldsymbol{\mu}=I\oint_{\mathbb{S}'}\mathrm{d}\mathbf{a}'\,\!</math>，偶極磁矢勢可以寫為
:<math>\mathbf{A}_1(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi }\ \frac{\boldsymbol{\mu}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^{2}}\,\!</math>。

偶極磁場<math>\mathbf{B}_1\,\!</math>為
:<math>\mathbf{B}_1(\mathbf{r})=\nabla\times\mathbf{A}_1(\mathbf{r})\,\!</math>。

由於磁偶極子的向量勢有一個[[奇点 (数学)|奇點]]在它所處的位置（原點<math>\mathbf{O}</math>），必須特別小心地計算，才能得到正確答案。更仔細地推導，可以得到磁場為
:<math>\mathbf{B}_1(\mathbf{r}) = \frac {\mu_0} {4\pi r^3} \left[3(\boldsymbol{\mu}\cdot\hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mu}\right] 
+\frac{2\mu_0}{3}\boldsymbol{\mu}\delta^3(\mathbf{r})\,\!</math>；

其中，<math>\delta^3(\mathbf{r})\,\!</math>是[[狄拉克δ函數]]。

偶極磁場的狄拉克δ函數項目造成了原子[[能級]]分裂，因而形成了[[超精細結構]]（{{lang|en|hyperfine structure}}）<ref>{{Citation
  | last = Griffiths
  | first = David J.
  | title = Hyperfine splitting in the ground state of hydrogen
  | journal = American Journal of Physics
  | volume = 50
  | issue = 8
  | pages = pp. 698
  | url = http://hep.ucsb.edu/courses/ph125_02/hyperfine.pdf
  | date = August 1982
  | accessdate = 2010-04-11
  | archive-date = 2020-05-12
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20200512192410/http://hep.ucsb.edu/courses/ph125_02/hyperfine.pdf
  | dead-url = no
  }}</ref>。在[[天文學]]裏，[[氫原子]]的超精細結構給出了[[21公分線|21公分譜線]]，在[[電磁輻射]]的[[無線電波]]範圍，是除了[[3K背景輻射]]以外，宇宙彌漫最廣闊的電磁輻射。從[[復合紀元]]（{{lang|en|recombination}}）至[[再電離紀元]]（{{lang|en|reionization}}）之間的天文學研究，只能依靠觀測21公分譜線無線電波。

給予幾個磁偶極矩，則按照[[疊加原理]]，其總磁場是每一個磁偶極矩的磁場的總向量和。

== 處於外磁場的磁偶極子 ==
=== 磁偶極子感受到的磁力矩 ===
[[File:Torque of a magnetic dipole.png|right|thumb|200px|處於均勻磁場的一個方形載流迴圈。]]
如圖右，假設載有電流<math>I\,\!</math>的一個方形迴圈處於外磁場<math>\mathbf{B}=B_0\hat{\mathbf{z}}\,\!</math>。方形迴圈四個邊的邊長為<math>w\,\!</math>，其中兩個與<math>\hat{\mathbf{y}}\,\!</math>平行的邊垂直於外磁場，另外兩個邊與磁場之間的夾角角弧為<math> - \theta+\pi/2\,\!</math>。

垂直於外磁場的兩個邊所感受的磁力矩為
:<math>\boldsymbol{\tau}=\left(IwB_0 \frac{w\sin{\theta}}{2}+IwB_0 \frac{w\sin{\theta}}{2}\right)\hat{\mathbf{y}}=Iw^2B_0\sin{\theta}\hat{\mathbf{y}}\,\!</math>。

另外兩個邊所感受的磁力矩互相抵消。注意到這迴圈的磁偶極矩為  <math>\boldsymbol{\mu}=Iw^2\hat{\boldsymbol{\mu}}\,\!</math>。所以，這迴圈感受到的磁力矩為
:<math>\boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\mu}\times\mathbf{B}\,\!</math>。

令載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大，同時保持<math>\boldsymbol{\mu}=I\mathbf{a}\,\!</math>不變，則這載流迴圈趨向於理想磁偶極子。所以，處於外磁場的磁偶極子所感受到的磁力矩也可以用上述方程式表示。

當磁偶極矩垂直於磁場時，磁力矩的大小是最大值<math>\mu B_0\,\!</math>；當磁偶極矩與磁場平行時，磁力矩等於零。

=== 磁偶極子的勢能 ===
將載流迴圈從角弧<math>\theta_1\,\!</math>扭轉到角弧<math>\theta_2\,\!</math>，磁場所做的[[機械功]]<math>W\,\!</math>為

:<math>W= - \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau\ d\theta
= - \int_{\theta_1}^{\theta_2} \mu B_0\sin{\theta}\ d\theta
=\mu B_0(\cos{\theta_2} - \cos{\theta_1})\,\!</math>。

注意到磁力矩的扭轉方向是[[反時針方向]]，而<math>\theta\,\!</math>是朝著[[順時針方向]]遞增，所以必須添加一個負號。設定<math>\theta_1=\pi/2\,\!</math>，則 
:<math>W=\mu B_0\cos{\theta_2}=\boldsymbol{\mu}\cdot \mathbf{B}\,\!</math>。

對抗這磁場的磁力矩，將載流迴圈從角弧<math>\pi/2\,\!</math>扭轉到角弧<math>\theta_2\,\!</math>，所做的[[機械功]]<math>W_a\,\!</math>為
:<math>W_a= - W= - \boldsymbol{\mu}\cdot \mathbf{B}\,\!</math>。

定義載流迴圈的[[勢能]]<math>U\,\!</math>等於這[[機械功]]<math>W_a\,\!</math>，以方程式表示為
:<math>U= - \boldsymbol{\mu}\cdot \mathbf{B}\,\!</math>。

與前段所述同理，磁偶極子的勢能也可以用這方程式表示。當磁偶極矩垂直於磁場時，勢能等於零；當磁偶極矩與磁場呈相同方向時，勢能是最小值<math> - \mu B_0\,\!</math>；當磁偶極矩與磁場呈相反方向時，勢能是最大值<math>\mu B_0\,\!</math>。

=== 非均勻磁場 ===
假設外磁場為均勻磁場，則作用於載流迴路<math>\mathbb{C}'\,\!</math>的磁場力等於零：
:<math>\mathbf{F}= I\oint_{\mathbb{C}'}\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}'\times\mathbf{B}=0\,\!</math>。

假設外磁場為非均勻的，則會有一股磁場力，作用於磁偶極子。依照磁矩模型的不同，求得的磁場力也會不同<ref name=Boyer>{{citation
 |author  = Boyer, Timothy H.
 |title   = The Force on a Magnetic Dipole
 |year    = 1988
 |journal = American Journal of Physics
 |volume  = 56
 |issue   = 8
 |pages   = pp. 688–692
 |url     = http://physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/boyer_ajp_56_688_88.pdf
 |doi     = 10.1119/1.15501
}}{{dead link|date=2018年4月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
</ref>。採用常見的「電流模型」，則一個磁偶極子所感受到的磁場力為
:<math>\mathbf{F}_{\ell}=\nabla(\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B})\,\!</math>。

另外一種採用「磁荷模型」。這類似電偶極矩的模型，計算出的磁場力為
:<math>\mathbf{F}_d=(\boldsymbol{\mu}\cdot\nabla)\mathbf{B}\,\!</math>。

兩者之間的差別為
:<math>\mathbf{F}_l=\mathbf{F}_d + \boldsymbol{\mu}\times \left(\nabla \times \mathbf{B} \right) \,\!</math>。

假設，電流等於零，電場不含時間，則根據[[馬克士威-安培方程式]]，
:<math>\nabla \times \mathbf{B} = 0 \,\!</math>，

兩種模型計算出來的磁場力相等。可是，假設電流不等於零，或電場為含時電場，則兩種模型計算出來的磁場力不相等。1951年，兩個不同的實驗，研究[[中子]]的[[散射]]於[[鐵磁性]]物質，分別得到的結果與電流模型預估的結果相符合<ref name=Boyer/>。

== 範例 ==
=== 圓形載流迴圈的磁偶極矩 ===
一個載流迴圈的磁偶極矩與其面積和所載電流有關。例如，載有1[[安培]]電流，半徑<math>r'\,\!</math>為0.05公尺的單匝圓形載流迴圈，其磁偶極矩為：
:<math>\mu=\pi r'\,^2 I=\pi\times 0.05^2\times 1\approx 0.008\;[\mathrm{A}\cdot\mathrm{m}^2]=0.008\;[\mathrm{J/T}]\,\!</math>。

磁偶極矩垂直於載流迴圈的平面。載流迴圈的磁矩，可以用來建立以下幾點論據：
* 假設場位置的距離<math>r\,\!</math>超遠於迴圈半徑<math>r'=0.05\ \mathrm{m}\,\!</math>，則磁場會呈反立方減弱：
::沿著迴圈的中心軸，磁矩與場位置<math>\mathbf{r}\,\!</math>平行：
:::<math>B= \frac {\mu_0} {4\pi r^3} 2\mu=\frac{4\pi\times10^{ - 7}}{4\pi r^3}\times 2\times 0.008 \approx \frac{1.6\times 10^{ - 9}}{r^3} \;[\mathrm{T}\cdot\mathrm{m}^3]\,\!</math>。
::在包含迴圈的平面的任意位置，磁矩垂直於場位置：
:::<math>B= -  \frac {\mu_0} {4\pi r^3} \mu= - \ \frac{4\pi\times10^{ - 7}}{4\pi r^3}\times 0.008\approx -\ \frac{0.8\times 10^{ - 9}}{r^3} \;[\mathrm{T}\cdot\mathrm{m}^3]\,\!</math>。
::負號表示平面任意位置案例與中心軸案例，這兩個案例的磁場呈相反方向。
* 假設在地球的某地方，[[地磁場]]<math>\mathbf{B}_E\,\!</math>的數值大約為0.5 [[高斯]]（5×10<sup>−5</sup> [[特斯拉 (单位)|特斯拉]]），而且迴圈磁矩垂直於地磁場<math>\mathbf{B}_E\,\!</math>，則此迴圈所感受到的力矩為
::<math>\tau\approx 0.008\times 5\times10^{-5}=
4\times10^{-7} \ [\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}]\,\!</math>。
* 應用力矩的觀念，可以製造出[[羅盤]]。假設這羅盤的磁針，由於力矩的作用，從磁針的磁矩垂直於地磁場<math>\mathbf{B}_E\,\!</math>，旋轉至磁針的磁矩與地磁場<math>\mathbf{B}_E\,\!</math>呈相同方向，則這羅盤-地球系統釋放出的能量<math>U\,\!</math>為
::<math>U\approx 0.008\times 5\times10^{-5}=
4\times10^{-7} \ [\mathrm{J}]\,\!</math>  。

:由於羅盤懸浮系統的摩擦機制，這能量是以熱量的形式耗散淨盡。

=== 螺線管的磁矩 ===
[[File:Solenoid, air core, insulated, 20 turns, (shaded).svg|200px|thumb|right|螺線管三維電腦繪圖。]]
一個多匝線圈（或[[螺線管]]）的磁矩是其每個單匝線圈的磁矩的向量和。對於全同匝（單層捲繞），只需將單匝線圈的磁矩乘以匝數，就可得到總磁矩。然後，這總磁矩可以用來計算磁場，力矩，和儲存能量，方法與使用單匝線圈計算的方法相同。

假設螺線管的匝數為<math>N\,\!</math>，每一匝線圈面積為<math>a\,\!</math>，通過電流為<math>I\,\!</math>，則其磁矩為
:<math>\mu=N Ia\,\!</math>。

=== 載電粒子圓周運動的磁矩 ===
假設，一個[[點電荷]]<math>q\,\!</math>以等速<math>v\,\!</math>繞著z-軸，移動於半徑為<math>r\,\!</math>的平面圓形路徑，則其電流為<ref name="Griffiths1998">{{citation | author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Electrodynamics (3rd ed.)| publisher=Prentice Hall |year=1998|pages = pp. 260-262 |isbn=0-13-805326-X}}</ref> 	 

:<math>I=\frac{qv}{2\pi r}\,\!</math>。

其磁矩為
:<math>\boldsymbol{\mu}=\frac{qv}{2\pi r} \pi r^2=\frac{qvr}{2}\hat{\mathbf{z}}\,\!</math>。

其角動量<math>\mathbf{J}\,\!</math>為
:<math>\mathbf{J}=mvr\hat{\mathbf{z}}\,\!</math>。

其中，<math>m\,\!</math>是載電粒子的質量。

所以，磁矩與角動量的經典關係為
:<math>\boldsymbol{\mu}=\frac{q}{2m}\mathbf{J}\,\!</math>。

對於電子，這經典關係為
:<math>\boldsymbol{\mu}= - \ \frac{e}{2m_e}\mathbf{J}\,\!</math>；

其中，<math>m_e\,\!</math>是電子的質量，<math>e\,\!</math>是電子的絕對電量。

假設，這點電荷是個束縛於[[氫原子]]內部的電子。由於[[離心力]]等於[[庫侖力|庫侖吸引力]]，
:<math>\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\ \frac{e^2}{r^2}=m_e \frac{v^2}{r}\,\!</math>；

其中，<math>\epsilon_0\,\!</math>是[[電常數]]。

現在施加外磁場<math>\mathbf{B}=B\hat{\mathbf{z}}\,\!</math>於此氫原子，則會有額外的[[勞侖茲力]]作用於電子。假設軌道半徑不變（這只是一個粗略計算），只有電子的速度改變為<math>v_B\,\!</math>，則
:<math>\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\ \frac{e^2}{r^2}+ev_B B=m_e \frac{v_B^2}{r}\,\!</math>。

所以，
:<math>v_B^2 - v^2=(v_B + v)(v_B - v)=\frac{ev_B B r}{m_e}\,\!</math>。

假設，兩個速度的差別<math>\Delta v=v_B - v\,\!</math>超小，則
:<math>\Delta v\approx \frac{e B r}{2 m_e}\,\!</math>。

所以，由於施加外磁場<math>\mathbf{B}\,\!</math>，磁矩的變化為
:<math>\Delta \boldsymbol{\mu}= - \frac{e \Delta v r}{2}\hat{\mathbf{z}}= - \frac{e^2 r^2}{4m_e}B\hat{\mathbf{z}}\,\!</math>。

注意到<math>\Delta \boldsymbol{\mu}\,\!</math>與<math>\mathbf{B}\,\!</math>呈相反方向，因而減弱了磁場。這是[[抗磁性]]的經典解釋。可是，抗磁性是一種量子現像，經典解釋並不正確。

為了簡略計算，使用半經典方法<ref>{{Citation
 |last    = O'Dell
 |first   = S. L.
 |last2   = Zia
 |first2  = R. K. P.
 |title   = Classical and semiclassical diamagnetism: A critique of treatment in elementary texts
 |journal = American Journal of Physics
 |volume  = 54
 |issue   = 1
 |pages   = pp. 32-35
 |url     = http://physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/odell_ajp_54_32_86.pdf
 |date    = Jan 1986
}}{{dead link|date=2018年4月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref>，可以求出磁矩的變化為
:<math>\Delta \boldsymbol{\mu}
= - \ \frac{e^2 \langle r^2\rangle}{4m_e}B\hat{\mathbf{z}}\,\!</math>；

其中，<math>\langle r^2\rangle\,\!</math>是半徑平方的[[期望值]]。

=== 電子的磁矩 ===
電子和許多其它種類的粒子都具有內稟磁矩。這是一種[[量子]]屬性，涉及到[[量子力學]]。詳盡細節，請參閱條目[[電子磁偶極矩]]（{{lang|en|electron magnetic dipole moment}}）。微觀的內稟磁矩集聚起來，形成了巨觀的磁效應和其它物理現象，例如[[電子自旋共振]]。

電子的磁矩是
:<math>\boldsymbol{\mu}= - g_e \mu_B \mathbf{S}/\hbar\,\!</math>；

其中，<math>g_e\,\!</math>是電子的朗德g因子，<math>\mu_B=e\hbar/2m_e\,\!</math>是[[波耳磁子]]，<math>\mathbf{S}\,\!</math>是電子的自旋角動量。

按照[[#載電粒子圓周運動的磁矩|前面]]計算的經典結果，<math>g_e = 1\,\!</math>；但是，在[[保羅·狄拉克|狄拉克力學]]裏，<math>g_e = 2\,\!</math>；更準確地，由於[[量子電動力學]]效應，它的實際値稍微大些，<math> g_S = 2.002\,319\,304\,36\,\!</math>。

請注意，由於這方程式內的負號，電子磁矩與自旋呈相反方向。對於這物理行為，[[經典電磁學]]的解釋為：假想自旋角動量是由電子繞著某旋轉軸而產生的。因為電子帶有負電荷，這旋轉所產生的電流的方向是相反的方向，這種載流迴路產生的磁矩與自旋呈相反方向。同樣的推理，帶有正電荷的[[正子]]（電子的[[反粒子]]），其磁矩與自旋呈相同方向。

=== 原子的磁矩 ===
在原子內部，可能會有很多個電子。多電子原子的總角動量計算，必須先將每一個電子的自旋總和，得到總自旋，再將每一個電子的[[軌角動量]]總和，得到總軌角動量，最後用[[角動量耦合]]（{{lang|en|angular momentum coupling}}）方法將總自旋和總軌角動量總和，即可得到原子的總角動量。原子的磁矩<math>\mu\,\!</math>與總角動量<math>\mathbf{J}\,\!</math>的關係為<ref name=Tilley2>{{citation |title=Understanding Solids|page= pp. 368 |isbn=0470852755 |author=RJD Tilley |year=2004 |publisher=John Wiley and Sons}}</ref>
:<math>\boldsymbol{\mu}= - g_J  \mu_B\mathbf{J}/\hbar\,\!</math>；

其中，<math>g_J\,\!</math>是原子獨特的[[朗德g因子]]。

磁矩對於磁場方向的分量<math>\mu_z\,\!</math>是

:<math>\mu_z = -  g_J \mu_B J_z/\hbar\,\!</math>；

其中，<math>J_z=J_m \hbar\,\!</math>是總角動量對於磁場方向的分量，<math>J_m\,\!</math>是[[磁量子數]]，可以取2J+1個整數値，-J、 -J+1、…、J-1、J，之中的任意一個整數值。

因為電子帶有負電荷，所以<math>\mu_z\,\!</math>是負值。

處於磁場的磁偶極子的[[動力學]]，不同於處於[[電場]]的[[電偶極子]]的動力學。磁場會施加力矩於磁偶極子，迫使它依著[[磁場線]]排列。但是，力矩是角動量對於時間的導數。所以，會產生自旋[[進動]]，也就是說，自旋方向會改變。這物理行為以方程式表達為
:<math>\frac{1}{\gamma} \frac{d \boldsymbol{\mu}}{dt} = \boldsymbol{\mu}\times\mathbf{H}\,\!</math>；

其中，<math>\gamma \,\!</math>是[[迴轉磁比率]]（{{lang|en|gyromagnetic ratio}}） ，<math>\mathbf{H}\,\!</math>是磁場。

注意到這方程式的左手邊項目是角動量對於時間的導數，而右手邊項目是力矩。磁場又可分為兩部分：
:<math>\mathbf{H}=\mathbf{H}_{eff} - \frac{\lambda}{\gamma \mu}\frac{d\boldsymbol{\mu}}{dt}\,\!</math>；

其中，<math>\mathbf{H}_{eff}\,\!</math>是有效磁場（外磁場加上任何自身場），<math>\lambda \,\!</math>是[[阻尼]]係數。

這樣，可以得到[[蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式]]（{{lang|en|Landau–Lifshitz–Gilbert equation}}）<ref name=Rice>{{citation |title=Advances in chemical physics |author=Stuart Alan Rice |pages=pp. 208 ''ff'' |isbn=0471445282 |publisher=Wiley |year=2004 | volume =128}}</ref>：
:<math>\frac{1}{\gamma} \frac{d \boldsymbol{\mu}}{dt} = \boldsymbol{\mu}\times\mathbf{H}_{eff} - \frac{\lambda}{\gamma \mu}\boldsymbol{\mu} \times\frac{d\boldsymbol{\mu}}{dt} \,\!</math>。

方程式右邊第一個項目描述磁偶極子繞著有效磁場的進動，第二個項目是阻尼項目，會使得進動漸漸減弱，最後消失。蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式是研究磁化動力學最基本的方程式之一。

=== 原子核的磁矩 ===
{{See also|核磁矩}}
核子系統是一種由[[核子]]（[[質子]]和[[中子]]）組成的精密物理系統。自旋是核子的量子性質之一。由於[[原子核]]的磁矩與其核子成員有關，從核磁矩的測量數據，更明確地，從核磁偶極矩的測量數據，可以研究這些量子性質。

雖然有些[[同位素]]原子核的[[激發態]]的[[放射性衰變|衰變期]]超長，大多數常見的原子核的自然存在狀態是[[基態]]。每一個同位素原子核的[[能態]]都有一個獨特的、明顯的核磁偶極矩，其大小是一個常數，通過細心設計的實驗，可以測量至非常高的精確度。這數值對於原子核內每一個核子的獨自貢獻非常敏感。若能夠測量或預測出這數值，就可以揭示核子[[波函數]]的內涵。現今，有很多理論模型能夠預測核磁偶極矩的數值，也有很多種實驗技術能夠進行原子核測試。

=== 分子的磁矩 ===
任何分子都具有明確的磁矩。這磁矩可能會跟分子的能態有關。通常而言，一個分子的磁矩是下列貢獻的總和，按照典型強度從大至小列出：
* 假若有未配對電子，則是其自旋所產生的磁矩（[[順磁性]]貢獻）
* 電子的軌域運動，處於基態時，所產生常與外磁場成正比的磁矩（[[抗磁性]]貢獻）
* 依照核自旋組態，[[核自旋]]所產生的總磁矩。

==== 分子磁性範例 ====
* [[氧]]分子，O<sub>2</sub>，由於其最外面的兩個未配對電子的自旋，具有強順磁性。
* [[二氧化碳]]分子，CO<sub>2</sub>，由於電子軌域運動而產生的，與外磁場成正比的，很微弱的磁矩。在某些稀有狀況下，假若這分子是由具磁性的同位素組成，像<sup>13</sup>C或<sup>17</sup>O，則此同位素原子核也會將其核磁性貢獻給分子的磁矩。
* [[氫]]分子，H<sub>2</sub>，處於一個弱磁場（或零磁場），會顯示出核磁性。氫分子的兩種自旋[[異構體]]，[[正氫]]或[[仲氫]]，都具有這種物理性質。

== 參閱 ==
* [[電偶極矩]]
* [[磁化強度]]
* [[磁化率]]
* [[球多極矩]]
* [[絕熱不變數]]
* [[磁偶極間交互作用]]（{{lang|en|Magnetic dipole-dipole interaction}}）

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:C}}
{{电磁学}}
[[Category:磁学]]
[[Category:向量]]
[[Category:物質內的電場和磁場]]