查看“︁矩 (數學)”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
|T= zh-cn:矩 (数学); zh-tw: 動差;
|1= zh-cn:矩; zh-tw: 動差; zh-hant:矩;
|2= zh-cn:原点矩; zh-tw:原動差;
|3= zh-cn:中心矩; zh-tw:主動差;
|4= zh-hk:參數; zh-cn:参数; zh-tw:母數;
|5= zh-cn:随机变量; zh_tw:隨機變數;
}}
{{Expand|time=2009-12-30}}

'''-{zh-cn:矩; zh-tw:動差}-'''<ref>{{cite book |author1=龚曙明 |title=应用统计学 |date=2005 |publisher=清华大学出版社有限公司 |isbn=9787810825863 |page=91 |url=https://books.google.com.tw/books?id=chY6nSJOIyQC&pg=PA91&dq=%E5%8A%A8%E5%B7%AE#v=onepage&q=%E5%8A%A8%E5%B7%AE&f=false |access-date=2023-07-26 |archive-date=2023-07-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230726192014/https://books.google.com.tw/books?id=chY6nSJOIyQC&pg=PA91&dq=%E5%8A%A8%E5%B7%AE#v=onepage&q=%E5%8A%A8%E5%B7%AE&f=false |dead-url=no }}</ref>（{{lang-en|moment}}）又稱'''-{zh-cn:动差; zh-tw:矩}-'''<ref>{{cite book |author1=國家教育研究院 |title=數學名詞（第四版） |publisher=元照出版公司 |location=2014 |isbn=9789860440454 |page=259 |url=https://books.google.com.tw/books?id=rqB_DwAAQBAJ&pg=PA259&dq=%E7%9F%A9+%E5%8B%95%E5%B7%AE#v=onepage&q=%E7%9F%A9%20%E5%8B%95%E5%B7%AE&f=false |access-date=2023-07-26 |archive-date=2023-07-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230726142542/https://books.google.com.tw/books?id=rqB_DwAAQBAJ&pg=PA259&dq=%E7%9F%A9+%E5%8B%95%E5%B7%AE#v=onepage&q=%E7%9F%A9%20%E5%8B%95%E5%B7%AE&f=false |dead-url=no }}</ref><ref>{{cite book |author1=國家教育研究院 |title=土木工程名詞 (第三版) |date=2015 |publisher=元照出版公司 |isbn=9789860465402 |page=133 |url=https://books.google.com.tw/books?id=9KB_DwAAQBAJ&pg=PA133&dq=%E7%9F%A9%E5%8B%95+%E5%B7%AE#v=onepage&q=%E7%9F%A9%E5%8B%95%20%E5%B7%AE&f=false |access-date=2023-07-26 |archive-date=2023-07-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230726142548/https://books.google.com.tw/books?id=9KB_DwAAQBAJ&pg=PA133&dq=%E7%9F%A9%E5%8B%95+%E5%B7%AE#v=onepage&q=%E7%9F%A9%E5%8B%95%20%E5%B7%AE&f=false |dead-url=no }}</ref>，其概念来自于[[物理学]]。在物理学中，-{矩}-用来表示物体形状的物理量，為重要参数指标。在數學中，矩的概念是用來度量一組具有一定形態特點的點陣。舉個常用的例子，一個“二階矩”，我們在一維上可以測量它的“寬度”；而在更高階的維度上，由於其適用於橢球的空間分佈，我們還可以對點的云結構進行測量和描述。其他的矩用來描述諸如與均值的歪斜分佈情況（偏態），或峰值的分佈情況（峰態）等其他方面的分佈特點。

== 定义 ==
设[[随机变量|隨機變數]]（或[[统计量|統計量]]，下同）<math>X</math>的[[概率密度函数]]为<math>f(x)</math>。

对于'''离散型'''随机变量，在存在的前提下，其相对于值<math>c</math>的<math>n</math>阶矩为：

:<math>\mu_n=\sum\limits_{i=1}^{\infty}(x_i-c)^n P(x_i)</math>

对于'''连续型'''随机变量，在存在的前提下，其相对于值<math>c</math>的<math>n</math>阶矩为：

:<math>\mu_n=\int_{-\infty}^\infty (x - c)^n\,f(x)\,dx</math>

特别地，当<math>c=0</math>时称之为'''[[原点矩]]'''，当<math>c=E(X)</math>时称之为'''[[中心矩]]'''。

== 期望（Expectation）==
[[随机变量|隨機變數]]的期望値定義為其1階原動差：
:<math>E(x) = \int_{-\infty}^\infty x\,f(x)\,dx</math>
在[[變異數]]等定義中，[[期望值]]也稱為隨機變量的“中心”。顯然，任何隨機變量的1階[[主動差]]為0。

== 方差（Variance）==
隨機變量的[[方差]]定義為其2階主動差：
:<math>\operatorname{Var}(x) = \int_{-\infty}^\infty \left[x - E(x)\right]^2 \,f(x)\,dx</math>

== 偏態（Skewness）==
隨機變量的[[偏態]]定義為其3階主動差：
:<math>S (x) = \int_{-\infty}^\infty [x - E(x)]^3 \,f(x)\,dx</math>

== 峰態（Kurtosis）==
隨機變量的[[峰態]]定義為其4階主動差：
:<math>K (x) = \int_{-\infty}^\infty [x - E(x)]^4 \,f(x)\,dx</math>

== 样本矩 ==
矩常常通过样本矩

:<math>\mu'_n \approx \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N} X^n_i</math>

来估计。此方法不需要先估计其[[概率分布]]。

==參見==
*[[主動差]]
*[[矩生成函數]]
*-{[[力矩]]}-

==外部連結==
*[http://mathworld.wolfram.com/topics/Moments.html Mathworld Website] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/topics/Moments.html |date=20060315024148 }}

{{概率分布理论}}
{{统计学}}
[[Category:概率论]]
[[Category:数学分析]]