查看“︁矩阵群”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:域; zh-tw:體;
}}
在[[数学]]中，一个'''矩阵群'''（{{lang|en|matrix group}}）''G'' 由某个[[体 (数学)|域]] ''K''（通常为了方便是固定的）上[[可逆矩阵|可逆]][[方块矩阵]]组成，群运算分别为[[矩阵乘法]]与矩阵乘法的逆运算。更一般地，我们可考虑一个[[交换环]] ''R'' 上的 ''n'' &times; ''n'' 矩阵（矩阵的大小限制为有限，因为任何群可表示为任何域上一个无限矩阵群）。'''线性群'''（{{lang|en|linear group}}）是同构于一个域 ''K'' 上矩阵群的抽象群，换句话说，在 ''K'' 上有一个[[忠实表示|忠实]]有限维[[群表示|表示]]。

任何[[有限群]]是线性的，因为利用[[凯莱定理]]可以实现为[[置换矩阵]]。在[[无限群论|无限群]]中，线性群组成有趣且易于处理的一类。非线性群的例子包括所有“足够大”群；例如一个无限集合的无限对称群。

==基本例子==

在一个交换环 ''R'' 上 ''n'' &times; ''n'' 矩阵集合 ''M''<sub>''R''</sub>(''n'',''n'') 在矩阵加法与乘法下自身是一个环。 ''M''<sub>''R''</sub>(''n'',''n'') 的[[单位群]]称为在环 ''R'' 上 ''n'' &times; ''n'' 矩阵的[[一般线性群]]，记作 ''GL''<sub>''n''</sub>(''R'') 或 ''GL''(''n'',''R'')。所有矩阵群是某个一般线性群的子群。

== 典型群 ==
{{main|典型群}}
某些已被证明有研究价值或性质较好的矩阵群是所谓的[[典型群]]。当矩阵群的系数环是实数，这些群是[[典型李群]]。当底环是一个有限域，典型群是[[李型群]]。这些群在[[有限单群分类]]中起着重要的作用。

== 有限群作为矩阵群 ==

任何有限群同构于某个矩阵群。这类似于[[凯莱定理]]说每个有限群同构于某个[[置换群]]。因为同构性质是传递的，我们只需考虑怎样从一个置换群构造一个矩阵群。

令 ''G'' 是在 ''n''点 (Ω = {1,2,…,n}) 上的置换群，设 {''g''<sub>1</sub>,...,''g''<sub>''k''</sub>} 是 ''G'' 的一个生成集合。[[复数 (数学)|复数域]]上 ''n''×''n'' 矩阵的一般线性群 ''GL''<sub>''n''</sub>('''C''') 自然作用在向量空间 '''C'''<sup>''n''</sup> 上。设 ''B''={''b''<sub>1</sub>,…,''b''<sub>''n''</sub>} 是  '''C'''<sup>''n''</sup> 的标准基。对每个 ''g''<sub>''i''</sub> 令 ''M''<sub>''i''</sub> 属于 ''GL''<sub>''n''</sub>('''C''') 是将每个 ''b''<sub>''j''</sub> 送到 ''b''<sub>''g''<sub>''i''</sub>(''j'')</sub> 的一个矩阵。这就是如果置换 ''g''<sub>''i''</sub> 将点 ''j'' 送到 ''k'' 则 ''M''<sub>''i''</sub> 将基向量 ''b''<sub>''j''</sub> 送到 ''b''<sub>''k''</sub>。  令 ''M'' 是 ''GL''<sub>''n''</sub>('''C''') 中由 {''M''<sub>1</sub>,…,''M''<sub>''k''</sub>} 生成的子群。''G'' 在 Ω 上的作用恰好与 ''M'' 在 ''B'' 上的作用相同。可以证明将每个 ''g''<sub>''i''</sub> 送到 ''M''<sub>''i''</sub> 的函数扩张成一个同构，这样每个置换群同构于一个子群。

注意到域（上面用的是 '''C'''）是无关的，因为 ''M'' 包含的元素矩阵分量只是 0 或 1。容易对任意域可做同样的构造，因为元素 0 和 1 在每个域中。

举一例，令 ''G'' = ''S''<sub>3</sub>，3 个点的[[对称群]]。设 ''g''<sub>1</sub> = (1,2,3) 和 ''g''<sub>2</sub> = (1,2)，则

: <math>
M_1 = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 \end{bmatrix}
</math>
: <math>
M_2 = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
</math>

注意到 ''M''<sub>1</sub>''b''<sub>1</sub> = ''b''<sub>2</sub>，''M''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub> = ''b''<sub>3</sub> 以及 ''M''<sub>1</sub>''b''<sub>3</sub> = ''b''<sub>1</sub>。类似地，''M''<sub>2</sub>''b''<sub>1</sub> = ''b''<sub>2</sub>，''M''<sub>2</sub>''b''<sub>2</sub> = ''b''<sub>1</sub> 以及 ''M''<sub>2</sub>''b''<sub>3</sub> = ''b''<sub>3</sub>。

== 表示论与特征标理论 ==

线性变换与矩阵（一般地说）在数学中已被充分理解，在群的研究中被广泛使用。特别是[[群表示|表示论]]研究从一个群到一个矩阵群的同态与[[特征标理论]]研究从一个群到由一个表示的迹给出的一个域的同态。

== 例子 ==
*{{le|李群列表|Table of Lie groups}}、{{le|有限单群列表|List of finite simple groups}}，以及[[單李群]]中有许多例子。
* 参见{{le|传递有限群列表|List of transitive finite linear groups}}。

==参考文献==
* Brian C. Hall ''Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction'', 1st edition, Springer, 2006. ISBN 0-387-40122-9
*Wulf Rossmann, ''Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups (Oxford Graduate Texts in Mathematics)'', Oxford University Press ISBN 0-19-859683-9.
*''La géométrie des groupes classiques'', J. Dieudonné. Springer, 1955. ISBN 1-114-75188-X
*''The classical groups'', H. Weyl, ISBN 0-691-05756-7

==外部链接==
*[http://eom.springer.de/L/l059250.htm EoM article ''Linear groups''] {{Wayback|url=http://eom.springer.de/L/l059250.htm |date=20091201183212 }}

[[Category:有限群论]]
[[Category:矩阵]]