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{{线性代数}}
'''矩阵分解'''（'''{{lang|en|decomposition}}''', '''{{lang|en|factorization}}'''）是将一个[[矩阵]]拆解为数个矩阵的[[矩阵乘法|乘积]]的运算。其依使用目的的不同，可分为几类。

== 例子==

在[[数值分析]]，矩阵分解常常用来实现一些矩阵运算的快速[[算法]]。

例如，当对[[线性方程组]] <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math> 进行求解时，矩阵''A''可以通过[[LU分解]]进行分解。LU分解将矩阵分解为[[下三角矩阵]]''L''和[[上三角矩阵]]''U''。相比于原方程<math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>，方程组<math>L(U \mathbf{x}) = \mathbf{b}</math> 与<math>U \mathbf{x} = L^{-1} \mathbf{b}</math>仅需更少的相加和乘法来求解，然而在不精确的算术（如 [[浮点数]]）中可能需要更多的数字。

类似的，[[QR分解]]将矩阵''A''分解为两个矩阵的乘积''QR''，其中''Q''是[[正交矩阵]]， ''R''是上三角矩阵。方程''Q''(''R'''''x''') = '''b'''可以通过''R'''''x''' = ''Q''<sup>T</sup>'''b''' = '''c'''求解；方程''R'''''x''' = '''c'''可以通过[[三角矩阵#向后替换|回带]]求解。该方法所需的额外的加法和乘法大概是LU分解法的两倍，但在不精确的算术中不要求额外的数字，因为QR分解是[[数值稳定性|数值稳定]]的。
== 与线性方程解法相关的矩阵分解 ==
* [[LU分解]]
* [[科列斯基分解]]
* [[QR分解]]
* [[特征分解]]

== 基于特征值和相关概念的分解 ==

* [[特征分解]]
* [[若尔当标准型]]
* [[舒尔分解]]
* [[奇异值分解]]

== 其他分解 ==
* [[极分解]]
* [[矩阵的平方根]]

==外部链接==
*[https://web.archive.org/web/20081212221215/http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/ Online Matrix Calculator]
*[http://eom.springer.de/M/m120140.htm  Springer Encyclopaedia of Mathematics » Matrix factorization] {{Wayback|url=http://eom.springer.de/M/m120140.htm |date=20100922014324 }}

{{数学小作品}}
{{线性代数的相关概念}}

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