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{{Unreferenced|time=2021-04-13T15:10:37+00:00}}
'''矩阵分析'''（英语：'''matrix analysis'''） 是一门研究矩阵及其代数性质的学科。这门学科研究的内容包括矩阵的运算（加法、[[矩阵乘法]]等）、[[矩阵函数]]、矩阵的特征值（特征值分解）等。

== 矩阵空间 ==
数域 ''F'' 下的所有 ''m''×''n'' 矩阵构成[[向量空间]] ''M<sub>mn</sub>''(''F'')。数域 ''F'' 包括[[有理数]]ℚ、[[实数]]ℝ、[[复数 (数学)|复数]]ℂ等。当 <math>m \neq p </math> 或 <math>n \neq q </math> 时，空间 ''M<sub>mn</sub>''(''F'') 和 ''M<sub>pq</sub>''(''F'') 不一致，例如 ''M''<sub>32</sub>(''F'') ≠ ''M''<sub>23</sub>(''F'')。

两个 ''m''×''n'' 的矩阵 '''A''' 和 '''B''' 在空间 ''M<sub>mn</sub>''(''F'') 相加可以得到空间 ''M<sub>mn</sub>''(''F'') 下的一个新矩阵：

: <math>\mathbf{A},\mathbf{B} \in M_{mn}(F)\,,\quad \mathbf{A} + \mathbf{B} \in M_{mn}(F) </math>

与数域 ''F'' 中的数 ''α'' 相乘，也可以得到空间 ''M<sub>mn</sub>''(''F'') 下的矩阵：

: <math>\alpha \in F \,,\quad \alpha \mathbf{A} \in M_{mn}(F) </math>

以上两条性质可以总结为：在矩阵空间 ''M<sub>mn</sub>''(''F'') 下的两个矩阵 '''A''' 和 '''B''' [[线性组合]]可以得到空间 ''M<sub>mn</sub>''(''F'') 下的一个新矩阵：

: <math>\alpha \mathbf{A} + \beta\mathbf{B} \in M_{mn}(F) </math>

其中 ''α'' 和 ''β'' 是数域 ''F'' 中的数。

所有矩阵都可以表示为基矩阵的线性组合，这些基矩阵起到类似于基向量的作用。例如，对于实数域下的 2×2 矩阵空间 ''M''<sub>22</sub>(ℝ)，一组可行的基矩阵可以是：

: <math>\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\,,\quad
\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\,,\quad
\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\,,\quad
\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\,,</math>

因为所有的 2×2 矩阵均可以表示为：

: <math>\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=a \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
+b\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}
+c\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}
+d\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\,,</math>

其中 ''a'', ''b'', ''c'',''d'' 均为实数。这个思路也可以推广到高维矩阵空间下。

== 行列式 ==
{{main|行列式}}
[[行列式]]是方阵的重要性质之一，它可以指示一个矩阵是否可逆。矩阵的行列式被用于计算特征值、求解线性方程组等方面。
== 矩阵的特征值和特征向量 ==
{{main|特征值和特征向量}}
一个 <math> n\times n </math> 矩阵的特征值 <math> x </math> 和特征向量 <math> \lambda </math> 定义为：

<math> Ax=\lambda x </math>

也就是说，一个矩阵乘以它的特征向量相当于它的特征值乘以特征向量。一个 <math> n\times n </math> 的矩阵有 n 个特征值，它们是矩阵[[特征多项式]]的根：

<math>p_\mathbf{A}(\lambda) = \det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0</math>

其中 <math> \mathbf{I} </math> 为 <math> n\times n </math> 的[[单位矩阵]]。

== 相似矩阵 ==
{{main|相似矩陣|基变更}}如果两个<math>n\times n</math>的矩阵<math>A</math>和<math>B</math>可以用相似变换联系起来，则两个矩阵相似：

<math>\mathbf{B=PAP}^{-1}</math>

可逆矩阵<math>\mathbf{P}</math>被称为相似变换矩阵。

=== 酉相似 ===
{{Main|酉矩阵}}
[[Category:数值分析]]
[[Category:矩陣]]
[[Category:線性代數]]